\(\left(x-y\right).\left(x+y+1\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left[x-y+y+y+1\right]=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left[\left(x-y\right)+\left(2y+1\right)\right]=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(x-y\right)+\left(2y+1\right).\left(x-y\right)=5\)
Do \(\left(x-y\right).\left(x-y\right)\)là một số chính phương
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-y\right).\left(x-y\right)=1\\\left(x-y\right).\left(x-y\right)=4\end{cases}}\)
Trương hợp 1:
\(\left(x-y\right).\left(x-y\right)=1\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-1\\x-y=1\end{cases}}\)
+ \(x-y=-1\)ta có:
\(1+\left(2y+1\right).\left(-1\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right).\left(-1\right)=5-1=4\)
\(\Rightarrow2y+1=4:\left(-1\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow2y=-4-1=-5\)
\(\Rightarrow y=-5:2=-2,5\)( không thỏa mãn với y nguyên )
+ \(x-y=1\)ta có:
\(1+\left(2y+1\right).1=5\)
\(\Leftrightarrow2y+1=5-1=4\)
\(\Leftrightarrow2y=4-1=3\)
\(\Rightarrow y=3:2=1,5\)( không thỏa mãn với y nguyên )
Trường hợp 2:
\(\left(x-y\right).\left(x-y\right)=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-2\\x-y=2\end{cases}}\)
+ \(x-y=-2\)ta có:
\(4+\left(2y+1\right).\left(-2\right)=5\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right).\left(-2\right)=5-4=1\)
\(\Leftrightarrow2y+1=1:\left(-2\right)=-\frac{1}{2}\)( không thỏa mãn )
+ \(x-y=2\)ta có:
\(4+\left(2y+1\right).2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right).2=5-4=1\)
\(\Leftrightarrow2y+1=1:2=\frac{1}{2}\)( không thỏa mãn )
Vậy không tồn tại số x; y nguyên thỏa mãn.
