Để \(\frac{x^2-2x+3}{x-1}\) là số nguyên thì \(\left(x^2-2x+3\right)⋮\left(x-1\right)\) hay \(\left(x-1\right)\) là \(Ư\left(x^2-2x+3\right)\)
Ta có:
\(\frac{x^2-2x+3}{x-1}=\frac{\left(x^2-4x+3\right)+2x}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2x}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{x-1}+\frac{2x}{x-1}=\left(x-3\right)+\frac{2x}{x-1}\)
Để \(\frac{x^2-2x+3}{x-1}\) là số nguyên thì \(\left(x-3\right)+\frac{2x}{x-1}\) là số nguyên hay \(\frac{2x}{x-1}\) là số nguyên
Để \(\frac{2x}{x-1}\) nguyên thì \(\left(x-1\right)\) là \(Ư\left(2x\right)\) hay \(\left(x-1\right)\) là Ư(2).
Có \(Ư\left(2\right)\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=1\\x-1=-1\\x-1=2\\x-1=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\\x=3\\x=-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}P=3\\P=-3\\P=3\\P=-3\end{matrix}\right.\)
Vậy, với \(x\in\left\{-1;0;2;3\right\}\) thì P là số nguyên.
Để x2 -2x+3/x-1 nguyên thì x^2-2x+3 chia hết cho x-1
=(x-1)2+2 chia hết cho x-1
Vì (x-1) chia hết cho x-1 nên (x-1)^2 chia hết cho x-1 nên2 chia hết cho x-1
Nén x-1=1,-1,2,-2 suy ra x=2,0,3,-1
