+) 18 chia 5 dư 3
=> \(18^n;3^n\) có cùng số dư khi chia cho 5.
+) 19 chia 5 dư 4
=> \(19^n;4^n\)có cùng số dư khi chia cho 5
=> \(1^n+2^n+18^n+19^n\)chia hết cho 5 khi và chỉ khi \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5
+) Chúng ta đi tìm n bằng cách quy nạp:
Với n = 0 ta có: \(1^0+2^0+3^0+4^0=4⋮̸5\)
Với n = 1 ta có: \(1^1+2^1+3^1+4^1=10⋮5\)
Với n = 2 ta có: \(1^2+2^2+3^2+4^2=30⋮5\)
Với n = 3 ta có: \(1^3+2^3+3^3+4^3=100⋮5\)
Với n = 4 ta có: \(1^4+2^4+3^4+4^4=354⋮̸5\)
Với n = 5 ta có: \(1^5+2^5+3^3+4^3=1300⋮5\)
...
Từ điều trên chúng ta có nhận xét rằng, Các số n không chia hết cho 4 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)chia hết cho 5.
+) Chứng minh: Xét n với 4 dạng : n = 4k; n= 4k+1 ; n= 4k+2; n= 4k +3 ( với k là số tự nhiên)
(i) Với n = 4k ta có:
Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k\)chia 5 dư 1; \(81^k\)chia 5 dư 1; \(256^k\)chia 5 dư 1
\(1^{4k}+2^{4k}+3^{4k}+4^{4k}=1^k+16^k+81^k+256^k\)
=> n =4k thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\)không chia hết cho 5.
(ii) Với n = 4k + 1ta có:
Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.2\)chia 5 dư 2; \(81^k.3\)chia 5 dư 3; \(256^k.4\) chia 5 dư 4.
=> \(1^{4k+1}+2^{4k+1}+3^{4k+1}+4^{4k+1}=1^k+16^k.2+81^k.3+256^k.4\) chia 5 dư 10 => chia hết 5
=> n =4k +1 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.
(iii) Với n = 4k + 2 ta có:
Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.4\)chia 5 dư 4; \(81^k.9\)chia 5 dư 4; \(256^k.16\) chia 5 dư 1.
=> \(1^{4k+2}+2^{4k+2}+3^{4k+2}+4^{4k+2}=1^k+16^k.4+81^k.9+256^k.16\) chia 5 dư 10 => chia hết cho 5
=> n =4k +2 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.
(iv) Với n = 4k + 3ta có:
Vì \(1^k\)chia 5 dư 1; \(16^k.8\)chia 5 dư 3; \(81^k.27\)chia 5 dư 2 ; \(256^k.64\) chia 5 dư 4.
=> \(1^{4k+1}+2^{4k+3}+3^{4k+3}+4^{4k+3}=1^k+16^k.8+81^k.27+256^k.64\) chia cho 5 dư 10 => chia hết cho 5
=> n =4k +3 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.
=> n không chia hết cho 4 thì \(1^n+2^n+3^n+4^n\) chia hết cho 5.
Vậy suy ra \(1^n+2^n+18^n+19^n\) chia hết cho 5 khi n không chia hết cho 4.
xét n=0 => không thỏa mãn;n=1 => thỏa mãn;
xét n\(\ge2\)
với n là số chẵn thì
19n+1n=(19+1)(19n-1 - 19n-2 +... - 1)+ 2.1n = 20A + 2
18n +2n = (18+2)(18n-1- 18n-2.2 + 18n-3.22 - ... - 2n-1) + 2.2n = 20B +2.2n
=> để 20A +2 +20B+ 2.22n chia hết cho 5 thì 2.2n +2 chia hết cho 5 hay 2n +1 chia hết cho 5
n chẵn nên sẽ có dạng n= 2k (k\(\in N;k\ge1\)) => 2n +1 = 22k +1 = 4k +1
4k chỉ có chữ số tận cùng là 4 hoặc 6
với k chẵn thì 4k tận cùng là 6 nên 4k +1 không chia hết cho 5 (loại)
với k lẻ; k có dạng k = 2x+1 (\(x\in N;x\ge0\)) thì 4k tận cùng là 4 nên 4k +1 tận cùng là 5 ( thỏa mãn chia hết cho 5) => n = 2k =2(2x+ 1) = 4x + 2 (x\(\in N;x\ge0\)) thỏa mãn
xét n là số lẻ; n =2k +1 (k\(\in Z;k\ge1\)) thì 19n+1n + 18n + 2n = (19+1)(19n-1- 19n-2 +...+ 1) + (18+2)(18n-1 - 18n-2.2 +...+ 2n-1)
=20U +20V chia hết cho 5
vậy với mọi n là số lẻ hoặc n = 4x +2(x \(\in N;x\ge1\)) đều thỏa mãn
