Question

Tìm tất cả các số tự nhiên n để \(\sqrt{n^2+14n-256}\)là số tự nhiên

Answer 1

biểu thức đã cho là số tự nhiên khi n^2+14n-256=a^2(a là số tự nhiên)

n^2+14n+49=a^2+49+256=a^2+305

(n+7)^2= a^2+305

vì n là số tự nhiên nên n+7 là số tự nhiên nên (n+7)^2 là số chính phương có dang b^2(b là số tự nhiên)

suy ra a^2+305=b^2

b^2-a^2=305

(b-a)(b+a)=305

vì a và b là số tự nhiên nên a+b là số tự nhiên và b+a>b-a

suy ra b+a là ước tự nhiên của 305={1;5;61;305}

nếu b+a=1 thì b-a=305>b+a(loại)

nếu b+a=5 thì b-a=61>b+a(loại)

nếu b+a=61 thì b-a=5 suy ra a=28 thay vào tìm được n=26

nếu b+a=305 thì b-a=1 suy ra a=152 thay vào tìm đươc n=146

vây n=26 hoặc n=146 tmđb