Question

Tìm tất cả các số nguyên tố p đề 2^p + p² cũng là số nguyên tố.

Answer 1

* Xét p = 2 thì \(2^p+p^2=2^2+2^2=8\)(loại, không là số nguyên tố)

* Xét p = 3 thì \(2^p+p^2=2^3+3^2=17\)(là số nguyên tố)

* Xét p > 3 thì \(2^p+p^2=\left(2^p+1\right)+\left(p^2-1\right)⋮3\)(Do p lẻ nên \(2^p+1⋮3\)và p không chia hết cho 3 nên\(p^2-1⋮3\))

Lại có \(2^p+p^2>2^3+3^2=17>3\)nên không là số nguyên tố

Vậy p = 3 thì 2^p + p² là số nguyên tố

Note: trường hợp p > 3 còn có một cách nữa là sử dụng đồng dư

p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(2^p\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow2^p\)chia 3 dư 2

Mặt khác p là số nguyên tố lẻ hên \(p^2\)chia 3 dư 1 suy ra \(2^p+p^2⋮3\)

Done!