Question

Tìm số tư nhiên x,n sao cho x⁴+2⁴ⁿ⁺² là một số nguyên tố

Answer 1

Ta có :

\(x^4+2^{4n+2}=x^4+x^2.2^{2n+2}+2^{4n+2}-x^2.2^{2n+2}=\left(x^2+2^{2n+1}\right)-\left(x.2^{n+1}\right)^2\)

\(=\left(x^2+2^{2n+1}-x.2^{n+1}\right)\left(x^2+2^{2n+1}+x.2^{n+1}\right)\)

Do x;n là số tự nhiên \(\Rightarrow x^2+2^{2n+1}+x.2^{n+1}>1\)

Vậy để \(x^4+2^{4n+2}\) là số nguyên tố \(\Leftrightarrow x^2+2^{2n+1}-x.2^{n+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2.x.2^n+2^{2n}\right)+2^{2n}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2^n\right)^2+2^{2n}=1\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-2^n=0\\2^{2n}=0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\n=0\end{cases}}}\)

Thử lại ta có : \(x^4+2^{4n+2}=1^4+2^{4.0+2}=1+4=5\) là số nguyên tố (TM)

Vậy \(x=1;n=0\) thì \(x^4+2^{4n+2}\) là số nguyên tố