Question

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 16 ước dương.

Answer 1

Gọi số đó là n

Viết phân tích ra thừa số nguyên tố của n = a^x.b^y.c^z...(a ;b;c;..là các thừa số nguyên tố )

=> Số các ước dương của n là (x+1)(y + 1)(z+1) ...

=> (x+1)(y + 1)(z+1) ... = 16 = 16 = 2.8 =4.4 = 2.2.4 = 2.2.2.2

+) Trường hợp n có 1 thừa số nguyên tố: n = a^x 

=> x+ 1 = 16 => x = 15 => n = a¹⁵ . Vì n nhỏ nhất nên a = 2 => n = 2¹⁵ = 32 768

+) Trường hợp: n có 2 thừa số nguyên tố n = a^x.b^y (coi x < y)

=> (x+1)(y + 1) = 16 = 2.8 = 4.4

=> x + 1 = 2; y +1 = 8 hoặc x + 1 = 4 và y + 1 = 4

=> x = 1;y = 7 hoặc x = 3; y = 3

=> n = a.b⁷ hoặc n = a³.b³

Nếu n = a.b⁷ .để n nhỏ nhất thì chọn số mũ lớn với cơ số nhỏ => a = 3; b = 2 => n = 3.2⁷ = 384

Nếu n = a³.b³ => a = 2;b = 3 => n = 8.27 = 216 

+) Trường hợp n có 3 thừa số nguyên tố: n = a^x.b^y.c^z 

=> (x+1)(y+1)(z+1) = 16 = 2.2.4 => x + 1 = 2; y + 1 = 2; z + 1 = 4 => x = 1; y = 1; z = 3

=> n = a.b.c³ , n nhỏ nhất => n = 3.5.2³ = 120

+) Trường hợp n có 4 thừa số nguyên tố : n = a^x.b^yc^z.d^t

=> (x+1)(y + 1)(z+1)(t + 1) = 16 = 2.2.2.2 => x =y = z = t = 1

=> n = a.b.c.d , n nhỏ nhất => n = 2.3.5.7 = 210

Vì n nhỏ nhất nên từ các trường hợp => n = 120