\(x^2-2y^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\div2=y^2\)
Vì x và y là số nguyên dương nên :
x > y hay x là số lẻ ( Vì nếu x là số chẵn ( số 2 ) thì không có hiệu là 1 như theo đề bài )
Thay x = 2a + 1 ( Vì x là số lẻ ), ta có:
\(\left(2a+1\right)^2-1=y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(2a+1\right)\times\left(2a+1\right)-1=y^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2+2a+2a+1-1=y^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2+2a+2a=y^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(2a^2+a+a\right)=y^2\)
Từ đó có thể dễ dàng thấy y2 chia hết cho 2 nhưng y2 không thể bằng 2 ( Không có số nguyên z nào mũ 2 bằng 2 )
Vì y2 chia hết cho 2 nên y chia hết cho 2 và y = 2 ( Vì y2 không thể bằng 2 )
\(\Rightarrow x^2=1+2\times2^2=9\)
\(\Rightarrow x=3\)
Vậy x = 3, y = 2 thỏa mãn điều kiện bài toán
