Question

tìm số nguyên tố p,q,r sao cho: \(p^q+q^p=r\)

Answer 1

Vì p,q là số nguyên tố nên p,q>1.Từ đây cho ta thấy rằng r>2

Vậy r lẻ,do đó \(p^q+q^p\)lẻ

Do đó trong 2 số p và q phải có 1 số chẵn và số còn lại lẻ, vì biểu thức \(p^q+q^p\)đối xứng vai trò giữa p,q nên ta giả sử p=2

Khi đó \(2^q+q^2=r\)

Thử trực tiếp ta thấy q=3,r=17 thỏa mãn

Với q>3 suy ra q² chia 3 dư 1 và đặt q=2k+1=>\(2^q+q^2=2.4^k+q^2\equiv2+1\equiv3\left(mod3\right)\)

Do đó r chia hết cho 3 mà dễ thấy r>3 nên r là hợp số

Vậy (p;q;r)=(2;3;17);(3;2;17)