Question

tim so nguyen n de:

\(n^3-3n^2-3n-1\) chia het cho \(n^2+n+1\)

Answer 1

Ta có: n³-3n²-3n-1=(n³-1)+(-3n²-3n-3)+3=(n-1)(n²+n+1)-3.(n²+n+1)+3

Để n³-3n²-3n-1 chia hết cho n²+n+1 thì: (n-1)(n²+n+1)-3.(n²+n+1)+3 chia hết cho n²+n+1

=>3 phải chia hết cho n²+n+1

=>n²+n+1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}

*n²+n+1=1

<=>n²+n=0

<=>n.(n+1)=0

<=>n=0 hoặc n=-1 (thỏa mãn cả hai)

*n²+n+1=-1

<=>n²+n+2=0 (vô lí vì: n²+n+2=(n+1/2)²+5/4 >0)

*n²+n+1=3

<=>n²+n-2=0

<=>n²-n+2n-2=0

<=>n.(n-1)+2.(n-1)=0

<=>(n-1)(n+2)=0

<=>n=1 hoặc n=-2 (thỏa mãn cả hai)

*n²+n+1=-3

<=>n²+n+4=0 (vô lí vì n²+n+4=(n+1/2)²+15/4>0)

Vậy n=-1;0;1;-2 thì n³-3n²-3n-1 chia hết cho n²+n+1

Answer 2

Ta có: n³-3n²-3n-1=n³-4 -3(n²+n+1) chia hết cho n²+n+1

nên n³-4 chia hết cho n²+n+1

n³-1 chia hết cho n²+n+1

nên 3 chia hết cho n²+n+1

thử các TH ra