Question

Tìm số hữu tỉ x , sao cho tổng của số đó với nghịch đảo của nó là một số nguyên 

Answer 1

Đặt x = \(\frac{a}{b}\)trong đó a,b \(\in\)Z ; a,b \(\ne\)0 ; ( |a| , |b| ) = 1 .

Ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\in Z\)\(\Rightarrow\)a² + b² \(⋮\)ab     ( 1 )

Từ ( 1 ) suy ra b² \(⋮\)a, mà ( |a|, |b| ) = 1 nên b \(⋮\)a. Cũng do ( |a|,|b| ) = 1 nên a = 1 hoặc a = -1

Cũng chứng minh tương tự như trên, ta được b = 1 hoặc b = 01

Do đó : x = 1 hoặc x = -1

Tham khảo