Câu hỏi của Thánh cao su

Question

Tìm $n\in$N* sao cho $n^6+n^4-n^3+1$ là số chính phương

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải: Để $n^6+n^4-n^3+1$ là scp thì $A=4n^6+4n^4-4n^3+4$ cũng phải là scp. Ta thấy: $A-(2n^3+n)^2=-4n^3+4-n^2=4(1-n^3)-n^2< 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ Do đó: $A< (2n^3+n)^2(1)$ Lại có: $A-(2n^3+n-2)^2=4n^3-n^2+4n=n(4n^2-n+4)$ $n[(n-\frac{1}{2})^2+3n^2+\frac{15}{4}]>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ Do đó $A> (2n^3+n-2)^2(2)$ Từ (1);(2) suy ra để A là scp thì $A=(2n^3+n-1)^2$ $\Leftrightarrow 4n^6+4n^4-4n^3+4=(2n^3+n-2)^2$ Thực hiện khai triển rút gọn: $\Rightarrow n^2-2n-3=0\Leftrightarrow (n-3)(n+1)=0$ $\Rightarrow n=3$ do $n\in\mathbb{N}^*$ Vậy..........Câu trả lời: Lời giải: Để $n^6+n^4-n^3+1$ là scp thì $A=4n^6+4n^4-4n^3+4$ cũng phải là scp. Ta thấy: $A-(2n^3+n)^2=-4n^3+4-n^2=4(1-n^3)-n^2< 0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ Do đó: $A< (2n^3+n)^2(1)$ Lại có: $A-(2n^3+n-2)^2=4n^3-n^2+4n=n(4n^2-n+4)$ $n[(n-\frac{1}{2})^2+3n^2+\frac{15}{4}]>0$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ Do đó $A> (2n^3+n-2)^2(2)$ Từ (1);(2) suy ra để A là scp thì $A=(2n^3+n-1)^2$ $\Leftrightarrow 4n^6+4n^4-4n^3+4=(2n^3+n-2)^2$ Thực hiện khai triển rút gọn: $\Rightarrow n^2-2n-3=0\Leftrightarrow (n-3)(n+1)=0$ $\Rightarrow n=3$ do $n\in\mathbb{N}^*$ Vậy..........

Violympic toán 9

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)