\(x^2+3xy+y^2=x^2y^2^{^{\left(1\right)}}\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=x^2y^2-xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy-1\right)\)
Vì xy(xy-1) là 2 số nguyên liên tiếp có tích là 1 số chính phương
=> xy=0 hoặc xy-1 =0
+) Nếu xy=0 thay vào (1) ta có
\(x^2+y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\)
+)Nếu xy-1 =0 hay xy=1 ta có
\(x^2+y^2+3=1\Leftrightarrow x^2+y^2=-2\left(loại\right)\)
Vậy x=0 ; y=0
Đoạn số chính phương rồi suy ra xy mình chưa hiểu lắm,bạn gthich tí dc 0
\(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0\) \(x^{2} y^{2} - x^{2} - 3 x y - y^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} \left(\right. y^{2} - 1 \left.\right) - 3 x y - y^{2} = 0\)
Bước 2: Nhận xétĐây là phương trình đối xứng về \(x\) và \(y\).Xét nghiệm nguyên dương nhỏ, vì các số lũy thừa tăng nhanh, nghiệm thường nhỏ.Bước 3: Thử với \(x = 1\)\(1 + 3 \cdot 1 \cdot y + y^{2} = 1 \cdot y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 1 + 3 y + y^{2} = y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y + 1 = 0\)
Không có nghiệm dương.Bước 4: Thử với \(x = 2\)\(4 + 3 \cdot 2 \cdot y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 4 + 6 y + y^{2} = 4 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 y^{2} - 6 y - 4 = 0\)
Chia 1/1, nhận dạng phương trình bậc 2: \(3 y^{2} - 6 y - 4 = 0\)\(\Delta = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 48 = 84\)Không phải là bình phương hoàn hảo → không có nghiệm nguyênBước 5: Thử với \(x = 3\)\(9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 9 + 9 y + y^{2} = 9 y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 y^{2} - 9 y - 9 = 0\)
\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 8 \cdot \left(\right. - 9 \left.\right) = 81 + 288 = 369\)Không phải bình phương hoàn hảo → không có nghiệm nguyênBước 6: Thử với \(y = 1\)\(x^{2} + 3 x + 1 = x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x + 1 = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = - \frac{1}{3}\)
❌ Không nguyên dương
Bước 7: Thử với \(y = 2\)\(x^{2} + 6 x + 4 = 4 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 3 x^{2} - 6 x - 4 = 0\)
\(\Delta = \left(\right. - 6 \left.\right)^{2} - 4 * 3 * \left(\right. - 4 \left.\right) = 36 + 48 = 84\)Không nguyênBước 8: Thử với \(y = 3\)\(x^{2} + 9 x + 9 = 9 x^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 8 x^{2} - 9 x - 9 = 0\)
\(\Delta = \left(\right. - 9 \left.\right)^{2} - 4 * 8 * \left(\right. - 9 \left.\right) = 81 + 288 = 369\)Không nguyênBước 9: Kết luậnPhương trình không có nghiệm nguyên dương nhỏ.Xét tiếp \(x \geq 1 , y \geq 1\) lũy thừa tăng nhanh → \(x^{2} y^{2} > x^{2} + 3 x y + y^{2}\) cho mọi \(x , y \geq 2\)Kiểm tra nhanh:\(x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + 3 x y + y^{2} \left.\right) = x^{2} y^{2} - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y \left.\right) - x^{2} - y^{2} - 3 x y = x y \left(\right. x y - 3 \left.\right) - x^{2} - y^{2}\)
Với \(x , y \geq 2\), \(x y \left(\right. x y - 3 \left.\right) - x^{2} - y^{2} > 0\) → Không thể bằng 0✅ Kết luận: phương trình không có nghiệm nguyên dương.
