từ gt \(\Rightarrow p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}\)suy ra b chẵn
Đặt b = 2k thì \(p=\frac{k}{2}\sqrt{\frac{a-k}{a+k}}\Leftrightarrow\frac{4p^2}{k^2}=\frac{a-k}{a+k}\)
đặt \(\frac{2p}{k}=\frac{m}{n}\)với ( m,n ) = 1 và d = ( a-k ; a+k ) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-k=dm^2\\a+k=dn^2\end{cases}\Rightarrow2k=d\left(n^2-m^2\right)}\)
và \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)\)
Nếu m,n cùng lẻ thì \(4pn=dm\left(n^2-m^2\right)⋮8\)nên p chẵn tức là p = 2 suy ra ....
Nếu m,n không cùng lẻ thì m chia 4 dư 2 ( do 2p không là số chẵn không chia hết cho 4 và \(\frac{2p}{k}\) là phân số tối giản )
Khi đó n là số lẻ nên n2 - m2 là số lẻ nên không chia hết cho 4 suy ra d là số chia hết cho 2
đặt d = 2r, ta có 2pn = rm ( n2 - m2 ) mà ( n2 - m2 , n ) = 1 \(\Rightarrow r⋮n\)
đặt r = ns ta có : 2p = s ( n - m ) ( n + m ) m . Do n-m,n+m đều lẻ nên n+m=p,n-m = 1
\(\Rightarrow s,m\le2\)và ( m,n ) = ( 1,2 ) và ( 2,3 )
với m = 1, n = 2 thì p = 3 , b = 24 , a = 20
với m = 2 , n = 3 thì p = 5, b = 30, a = 39
Vậy ....
Một bài khó hơn nha bạn tham khảo :D vô TKHĐ của tớ
Nguồn bài này là Iran MO 1998 bạn có thể tham khảo lời giải của giáo sư Titu Andresscu tại đây:
Lời giải của Titu Andresscu:
