Question

Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^4-4x^2+y^2+2x^2y-9=0\)

Answer 1

Xét phương trình:

\(x^{4} - 4 x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y - 9 = 0.\)

Coi phương trình là bậc hai theo \(y\):

\(y^{2} + 2 x^{2} y + \left(\right. x^{4} - 4 x^{2} - 9 \left.\right) = 0.\)

Theo công thức nghiệm:

\(y = - x^{2} \pm \sqrt{4 x^{2} + 9} .\)

Đặt \(t = \sqrt{4 x^{2} + 9}\) \(\Rightarrow t^{2} - 4 x^{2} = 9\).
Suy ra:

\(\left(\right. t - 2 x \left.\right) \left(\right. t + 2 x \left.\right) = 9.\)

Xét các trường hợp:

\(t-2x=1,t+2x=9\Rightarrow t=5,x=2.\)\(t-2x=3,t+2x=3\Rightarrow t=3,x=0.\)\(t-2x=9,t+2x=1\Rightarrow t=5,=-2.\)

Từ mỗi nghiệm \(\left(\right. x , t \left.\right)\) ta tìm \(y = - x^{2} \pm t\):

Với \(x=2,t=5:y=-4\pm5\Rightarrow y=1\text{ho}ặ\text{c}-9.\)Với \(x=-2,t=5:y=-4\pm5\Rightarrow y=1\text{ho}ặ\text{c}-9.\)Với \(x=0,t=3:y=0\pm3\Rightarrow y=3\text{ho}ặ\text{c}-3.\)