Question

 

Tìm n ∈ N để:

a) 3ⁿ – 1 chia hết cho 8

b) A = 3^{2n + 3} + 2^{4n + 1} chia hết cho 25

c) 5ⁿ – 2ⁿ chia hết cho 9

Answer 1

a) Khi n = 2k (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^2k – 1 = 9^k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8

Khi n = 2k + 1 (k ∈ N) thì 3ⁿ – 1 = 3^{2k + 1}  – 1 = 3. (9^k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2

Vậy : 3ⁿ – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k ∈ N)

b) A = 3^{2n + 3} + 2^{4n + 1} = 27 . 3²ⁿ + 2.2⁴ⁿ =  (25 + 2) 3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ = 25. 3²ⁿ  + 2.3²ⁿ  + 2.2⁴ⁿ

= BS 25 + 2(9ⁿ  + 16ⁿ)

Nếu n = 2k +1(k ∈ N) thì 9ⁿ  + 16ⁿ = 9^{2k + 1} + 16^{2k + 1} chia hết cho 9 + 16 = 25

Nếu n = 2k  (k ∈ N) thì 9ⁿ có chữ số tận cùng bằng 1 , còn 16ⁿ có chữ số tận cùng bằng 6

suy ra 2((9ⁿ  + 16ⁿ) có chữ số tận cùng bằng 4 nên A không chia hết cho 5 nên không chia hết cho 25

c) Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 5ⁿ – 2ⁿ = 5^3k – 2^3k chia hết cho 5³ – 2³ = 117 nên chia hết cho 9

Nếu n = 3k + 1 thì 5ⁿ – 2ⁿ =  5.5^3k – 2.2^3k = 5(5^3k – 2^3k) + 3. 2^3k = BS 9 + 3. 8^k

= BS 9 + 3(BS 9 – 1)^k = BS 9 + BS 9 + 3

Tương tự:  nếu n = 3k + 2 thì 5ⁿ – 2ⁿ không chia hết cho 9