Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên)
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên)
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2)
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên)
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4)
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)
Giả sử n2+2006=m2(m,n thuộc Z)
=>n2-m2=2006<=>(n+m).(n-m)=2006
Gọi n-m=a;n+m=b(a,b thuộc Z)
Vì tích a và b bằng 2006 là một số chẵn ,suy ra trong a và b có ít nhất một số chẵn(1)
Mặt khác ta có:a+b=(n-m)+(n+m)=2n là một số chẵn ,suy ra a và b cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2)
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn
Suy ra a=2k,b=2l(k,l thuộc Z)
Theo như trên ta có:a.b=2006 hay2k.2l=2006 hay 4.k.l=2006
Vì k,l là số nguyên nên 2006 phải chia hết cho 4(vô lý vì 2006 không chia hết cho 4)
Vậy không tồn tại n thỏa mãn bài toán
