\(A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)
\(=\frac{1}{3}x-2\sqrt{\frac{1}{3}x}.\sqrt{3y}+3y+\frac{2}{3}x-2\sqrt{\frac{2}{3}x}.\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+1\)
\(=\left(\sqrt{\frac{1}{3}x}-\sqrt{3y}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{3}x}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2+1-\frac{3}{2}\ge\frac{-1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{1}{3}x}-\sqrt{3y}=0\\\sqrt{\frac{2}{3}x}-\sqrt{\frac{3}{2}}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{3}x=3y\\\frac{2}{3}x=\frac{3}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{1}{4}\\x=\frac{9}{4}\end{cases}}}\)
Vậy Amin = -1/2 khi x = 9/4 và y = 1/4
P/s: Phân tích hơi lẻ nhưng chịu thôi. Bạn xem đi có gì không hiểu hỏi mình.
Một câu hỏi rất thú vị và đánh lừa người khác =))
ĐKXĐ \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\xy\ge0\end{cases}}\)
Nếu x = 0 thì y thuộc R , như vậy sẽ không có min
=> Đề thiếu điều kiện của x và y
Thật ra có điều kiện là x;y dương nhưng mình làm biếng đánh quá. Cảm ơn các bạn
ĐK : \(x,y\ge0\)\(A=x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1.\)
\(=\left(x+y+1-2\sqrt{xy}-2\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)+2y-2\sqrt{y}\)
\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(y-\sqrt{y}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}.\)
\(=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}.\)
Vì \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2\ge0,2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Suy ra \(A=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}-1\right)^2+2\left(\sqrt{y}-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}.\)
Vậy Min \(A=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\\\sqrt{y}=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{1}{4}\end{cases}\left(tmđk\right).}\)
Cảm ơn các bạn đã nhiệt tình bàn luận bài toán của mình. Rất hân hạnh
