ĐKXĐ: \(x\ge0\). Ta có:
\(P=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\frac{1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)\)
Để P đạt GTLN thì \(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\) đạt GTNN. Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}.9\sqrt{x}}=6\Rightarrow P\le1-6=-5\)
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi \(\frac{1}{\sqrt{x}}=9\sqrt{x}\Leftrightarrow9x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}\) (thỏa mãn)
Vậy max P = -5 khi và chỉ khi x = 1/9
\(P=1-\frac{1}{\sqrt{x}}-9\sqrt{x}=1-\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+9\sqrt{x}\right)\le1-2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot9\sqrt{x}}=1-6=-5\)
Vậy MAx P = -5 tại x = 1/9
