\(2^m+2^n=2^{m+n}\)
\(\Leftrightarrow2^m-2^{m+n}+2^n=0\)
\(\Leftrightarrow2^m\left(1-2^n\right)-1+2^n=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(2^m-1\right)\left(1-2^n\right)=-1\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\1-2^n=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}2^m-1=1\\1-2^n=1\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}2^m-1=-1\\1-2^n=-1\end{cases}}\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}2^m-1=-1\\1-2^n=-1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2^m=0\\2^n=0\end{cases}}\)( vô lí ) hoặc \(\hept{\begin{cases}2^m=2\\2^n=2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow m=n=1\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(m\ge n\)
Khi đó:\(m=n+k\left(k\in N\right)\)
Ta có
\(2^{n+k}+2^n=2^{2n+k}\)
\(\Leftrightarrow2^n\left(2^k+1\right)=2^{2n+k}\)
Do VP là lũy thừa của 2 nên VP là tích của các số chẵn => \(2^k+1\) chẵn
\(\Rightarrow2^k\) lẻ suy ra k=0
Suy ra m=n
Khi đó pt tương đương với \(2^m+2^m=2^{m+m}\Leftrightarrow2\cdot2^m=4^m\Leftrightarrow2^m=2\Rightarrow m=1\)
Vậy m=1;n=1 là nghiệm của phương trình trên
