Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Aki Michio

Tìm GTLN của biểu thức sau : \(\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

Phương Trâm
8 tháng 5 2019 lúc 16:49

Đặt \(M=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\)

Khi \(x=0\Rightarrow M=0\) (Không phải GTLN)

Khi \(x\ne0\) ta chia cả tử và mẫu cho \(x^2\) :

\(M=\frac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}\)

Ta có: \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=2\)

Để \(M_{max}\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+1\) min

\(x^2+\frac{1}{x^2}\ge2\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=2\)

\(\Leftrightarrow x^4-2x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-x^2-x^2+1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(M_{max}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=\pm1\)

DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG
8 tháng 5 2019 lúc 18:09

Ý tưởng khác bạn Trâm nhiaa :vv

Đặt : \(A=\frac{x^2}{x^4+x^2+1}\Rightarrow A-\frac{x^2}{x^4+x^2+1}=0\)

\(\Leftrightarrow Ax^4+Ax^2+A-x^2=0\)

\(\Leftrightarrow Ax^4+\left(A-1\right)x^2+A=0\)

\(\Delta=\left(A-1\right)^2-4A^2=-3A^2-2A+1\)

Để phương trình có nghiệm \(\Rightarrow\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3A^2-2A+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow3A^2+2A-1\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(3A-1\right)\left(A+1\right)\le0\)

\(\Rightarrow-1\le A\le\frac{1}{3}\)

Vậy \(MAX_A=\frac{1}{3}\) khi \(x=\pm1\)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thanh Hằng
Xem chi tiết
Vyy Vyy
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Phú Phạm Minh
Xem chi tiết
Đừng gọi tôi là Jung Hae...
Xem chi tiết
nguyen thi thu
Xem chi tiết
Viêt Thanh Nguyễn Hoàn...
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Nguyễn thị ngọc hoan
Xem chi tiết