1.Cho a,b là các số dương thay đổi thỏa mãn a+b=2
Tính GTNN biểu thức D=\(\frac{a+b}{ab}+\frac{ab}{a+b}\)
2. Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=1
Tìm GTLN của biểu thức B=\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
3. Tính GTNN của biểu thức T=\(\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{x^2+x+2}\)
4. Tính GTLN A=\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}\) biết x+y=4
2. Áp dụng bđt \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) :
\(B=\frac{x}{x+x+y+z}+\frac{y}{x+y+y+z}+\frac{z}{x+y+z+z}\) \(=x\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}+y\cdot\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+z\cdot\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\cdot x\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{1}{4}y\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)+\frac{1}{4}z\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow B\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{x+z}+\frac{z}{x+z}\right)=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
1. Áp dụng bđt Cauchy và bđt quen thuộc \(4ab\le\left(a+b\right)^2\) ta có:
\(D=\frac{ab}{a+b}+\frac{a+b}{4ab}+\frac{3\left(a+b\right)}{4ab}\) \(\ge2\sqrt{\frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4ab}}+\frac{6}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\Rightarrow D\ge1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=1\)
4. Áp dụng bđt \(a+b\le\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng ) ta có:
\(A=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}\le\sqrt{2\left(x+y-3\right)}=\sqrt{2}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\sqrt{y-2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)
