Question

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Answer 1

Lời giải phía trên sai rồi. Biểu thức (mình đặt là A) sẽ bằng \(\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}\)

Ta biển đổi \(A=\frac{1}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}+\frac{xy}{x^2+y^2}+\frac{3}{4}.\frac{x^2+y^2}{xy}\)

Thực hiện BĐT Cauchy 2 lượng đầu, lượng cuối cùng dùng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\)

Vậy giá trị nhỏ nhất là \(\frac{5}{2}\)

Answer 2

Bài này thiếu điều kiện x,y > 0. Nếu có điều kiện thì quy đồng \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+y^2}{xy}\) rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si được A \(\ge\)2