Question

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B=\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{z+x}\)biết x,y,z>0 và x+y+z=4

Answer 1

\(B=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

Áp dụng BĐT cô si:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+y}.\frac{x+y}{4}}=x\)

CMTT: \(\frac{y^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge y\)

         \(\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge z\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}+\frac{x+y}{4}+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}\ge x+y+z\)

\(\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{z^2}{x+z}\ge4-\frac{2.\left(x+y+z\right)}{4}=4-2=2\)

           \(B\ge2\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{3}\)

Answer 2

sờ vác xơ

\(B=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}\)

\(=2\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{4}{3}\)