\(b=0\text{ thì }B=\frac{a^2}{a^2}+0=1\)
Xét \(b\ne0\)
\(B=\frac{\left(\frac{a}{b}\right)^2}{1+\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}+\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^2+\left(\frac{a}{b}+1\right)^2}=\frac{t^2}{1+\left(t+1\right)^2}+\frac{1}{t^2+\left(t+1\right)^2}\)\(\left(t=\frac{a}{b}\in R\right)\)
Dự đoán B nhỏ nhất khi a = b hay t = 1. t = 1 thì B = 2/5. Ta chứng minh \(B\ge\frac{2}{5}\)
Thật vậy, ta có:
\(B=\left[\frac{t^2}{1+\left(t+1\right)^2}+\frac{1}{t^2+\left(t+1\right)^2}-\frac{2}{5}\right]+\frac{2}{5}\)
\(=\frac{2\left(t-1\right)^2\left(3t^2+5t+3\right)}{5\left[1+\left(t+1\right)^2\right]\left[t^2+\left(t+1\right)^2\right]}+\frac{2}{5}\)
\(=\frac{2\left(t-1\right)^2\left[3\left(t+\frac{5}{6}\right)^2+\frac{11}{12}\right]}{5\left[1+\left(t+1\right)^2\right]\left[t^2+\left(t+1\right)^2\right]}+\frac{2}{5}\)
\(\ge\frac{2}{5}\forall t\in R\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t-1=0\Leftrightarrow t=\frac{a}{b}=1\Leftrightarrow a=b\)
Vậy GTNN của B là 2/5 đạt được khi \(a=b\ne0\)
