Question

Tìm đa thức bậc hai biết \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\)

Từ đó áp dụng tính tổng S= \(1+2+3+...+n\)

Answer 1

Lời giải:

Giả sử đa thức cần tìm là $f(x)=ax^2+bx+c$

Cho $x=0$:

$f(0)-f(-1)=0\Leftrightarrow c-(a-b+c)=0\Leftrightarrow -a+b=0(1)$

Cho $x=1$:

$f(1)-f(0)=1\Leftrightarrow a+b+c-c=1\Leftrightarrow a+b=1(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Vậy $f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c$ với $c$ là số thực bất kỳ.

Áp dụng tính tổng:

$f(1)-f(0)=1$

$f(2)-f(1)=2$

$f(3)-f(2)=3$

....

$f(n)-f(n-1)=n$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow f(n)-f(0)=1+2+3+..+n$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+c-c=S$

$\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=S$

Answer 2

Lời giải:

Giả sử đa thức cần tìm là $f(x)=ax^2+bx+c$

Cho $x=0$:

$f(0)-f(-1)=0\Leftrightarrow c-(a-b+c)=0\Leftrightarrow -a+b=0(1)$

Cho $x=1$:

$f(1)-f(0)=1\Leftrightarrow a+b+c-c=1\Leftrightarrow a+b=1(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Vậy $f(x)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c$ với $c$ là số thực bất kỳ.

Áp dụng tính tổng:

$f(1)-f(0)=1$

$f(2)-f(1)=2$

$f(3)-f(2)=3$

....

$f(n)-f(n-1)=n$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow f(n)-f(0)=1+2+3+..+n$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n+c-c=S$

$\Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}=S$