Question

Tìm đa thức bậc 2 sao cho:\(f_{\left(x\right)}-f_{\left(x-1\right)}=x\)

Áp dụng tính tổng S=1+2+3+..+n

Answer 1

Giả sử f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra

f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b

Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x

⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x

Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c

f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1

f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2

....

f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n

Do đó

1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2

Answer 2

Suy ra
f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+bf(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b
Mà f(x)−f(x−1)=xf(x)−f(x−1)=x
⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x
Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2
Do đó f(x)=x22−x2+cf(x)=x22−x2+c
f(n)=1+2+3+...+nf(n)=1+2+3+...+n
Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1f(1)−f(0)=1
f(2)−f(1)=2f(2)−f(1)=2
....
f(n)−f(n−1)=nf(n)−f(n−1)=n
Do đó
1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=n22−n2=n(n−1)2

:3

Answer 3

Giả sử f﴾x﴿=ax2+bx+cf﴾x﴿=ax2+bx+c ﴾do đề bài cho là đa thức bậc hai﴿

Suy ra f﴾x﴿−f﴾x−1﴿=ax2+bx+c−a﴾x−1﴿2−b﴾x−1﴿−c=2ax+a+bf﴾x﴿−f﴾x−1﴿=ax2+bx+c−a﴾x−1﴿2−b﴾x−1﴿−c=2ax+a+b

Mà f﴾x﴿−f﴾x−1﴿=xf﴾x﴿−f﴾x−1﴿=x ⇒2ax+a+b=x⇒2ax+a+b=x Do đó a+b=0a+b=0 và a=1/2a=1/2 từ đó ta

suy ra a=1/2;b=−1/2a=1/2;b=−1/2

Do đó f﴾x﴿=x22−x2+cf﴾x﴿=x22−x2+c f﴾n﴿=1+2+3+...+nf﴾n﴿=1+2+3+...+n

Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì: f﴾1﴿−f﴾0﴿=1f﴾1﴿−f﴾0﴿=1 f﴾2﴿−f﴾1﴿=2f﴾2﴿−f﴾1﴿=2 .... f﴾n﴿−f﴾n−1﴿=nf﴾n﴿−f﴾n−1﴿=n

Do đó 1+2+...+n=f﴾1﴿−f﴾0﴿+f﴾2﴿−f﴾1﴿+...+f﴾n﴿−f﴾n−1﴿=f﴾n﴿−f﴾0﴿=n22−n2=n﴾n−1﴿2