Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử \(1\le a\le b< c\)
Ta có hệ phương trình : \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2=c^2\left(1\right)\\ab=3\left(a+b+c\right)\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow c^2=\left(a+b\right)^2-2ab\)
\(\Leftrightarrow c^2=\left(a+b\right)^2-6\left(a+b+c\right)\left(theo\left(2\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)=c^2+6c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-6\left(a+b\right)+9=c^2+6c+9\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-3\right)^2=\left(c+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b-3=c+3\) do \(a+b\ge3\)
\(\Leftrightarrow c=a+b-6\)
Thay vào (2) ta được : \(ab=3\left(a+b+a+b-6\right)\)
\(\Leftrightarrow ab=3a+3b+3a+3b-18\)
\(\Leftrightarrow ab-6a-6b+18=0\)
\(\Leftrightarrow ab-6b-6a+36=18\)
\(\Leftrightarrow b\left(a-6\right)-6\left(a-6\right)=18\)
\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(b-6\right)=18\)
Phân tích 18 = 1.18 = 2.9 = 3.6 nên ta có :
\(\left\{{}\begin{matrix}a-6=1\\b-6=18\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a-6=2\\b-6=9\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a-6=3\\a-6=6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=7\\b=24\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=8\\b=15\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=9\\b=12\end{matrix}\right.\)
Từ đó ta có 3 tam giác vuông có các cạnh ( 7;24;25 ) và ( 8;15;17 ) và ( 9;12;15 ) thỏa mãn yêu cầu của bài toán .
