Question

Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: x³ + 3x = x²y + 2y + 5

Answer 1

Ta có : \(x^3+3x=x^2y+2y+5\Leftrightarrow y=\frac{x^3+3x-5}{x^2+2}\)

\(\Leftrightarrow\)\(y=x+\frac{x-5}{x^2+2}\)

Ta thấy y nguyên \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x-5}{x^2+2}\)nguyên \(\Leftrightarrow\)\(x-5\)chia hết cho \(x^2+2\)

\(\Rightarrow\)\(\left(x-5\right)\left(x+5\right)⋮x^2+2\)

Hay \(x^2+2-27⋮x^2+2\Rightarrow27⋮x^2+2\)

Mà \(x^2+2\ge2\)Nên :

\(x^2+2\in\left\{3;9;27\right\}\)

Tới đây tự xét tiếp các trường hợp 

Answer 2

=>x^3+2x-x^2y-2y=5-x

=>(x-y)(x^2+2)=5-x

=>x-y=5-x/x^2+2

=>y-x=x-5/x^2+2

Do x,y thuộc Z=>y-x thuộc Z

=>x-5/x^2+2 thuộc Z <=>x-5 chia hết x^2+2

=>(x+5)(x-5) chia hết x^2+2

<=>x^2-25 chia hết x^2+2

<=>27 chia hết cho x^2+2

<=>x^2+2 thuộc tập ước 27

Mà x^2+2>=2

=>x^2+2 thuộc {3;9;27}

<=>x thuộc {1,-1,5,-5}

Vối x=-1 =>y=-3

Với x=1=>y=-1/3 (loại)

Với x=5 =>y=5

Với x=-5=>27y=-145 (loại)