Question

Tìm các số nguyên x, y biết :\(6x^2+5y^2\)=74

Answer 1

6x2
 + 5y2
 = 74 (1) 
Ta có : 5x2
 + 5y2
 =< 6x2
 + 5y2
 =< 6x2
 + 6y2
<=> 5(x2
 + y2
) =< 74 =< 6(x2
 + y2
) 
<=> 12,3 =< x2
 + y2
 =< 14,8 
<=> 13 =< x2
 + y2
 =< 14 (vì x, y tự nhiên => x2
 + y2
 tự nhiên) 
Trường hợp 1 : x2
 + y2
 = 13 (2) 
Ta có hệ : 
6x2
 + 5y2
 = 74 (1) 
x
2
 + y2
 = 13 (2) 
<=> 6x2
 + 5y2
 = 74 
5x2
 + 5y2
 = 65 
Trừ 2 phương trình : x2
 = 9 <=> x = 3 (vì x >= 0) 
Thay vào (2) y2
 = 13 - x2
 = 13 - 9 = 4 <=> x = 2 
Nghiệm : (x ; y) = (2 ; 3) 
Trường hợp 2 : x2
 + y2
 = 14 (4) 
Ta có hệ : 
6x2
 + 5y2
 = 74 (1) 
x
2
 + y2
 = 14 (3) 
<=> 6x2
 + 5y2
 = 74 
5x2
 + 5y2
 = 70 
Trừ 2 phương trình : x2
 = 4 <=> x = 2 
Thay vào (3) : y2
 = 14 - 4 = 10 <=> y = 10 (loại) 
Vậy phương trình có nghiệm nguyên duy nhất là (x ; y) = (2 ; 3)