Question

tìm các số nguyên p để p+6;p+8;p+12;p+14 đều là các số nguyên tố

Answer 1

Mọi số tự nhiên đều viết được dưới dạng \(5k;5k+1;5k+2;5k+3;5k+4\)

Nếu \(p=5k+1\Rightarrow p+14=5p+15=5.\left(p+3\right)⋮5\)( loại )

Nếu \(p=5k+2\Rightarrow p+8=5p+10=5.\left(p+2\right)⋮5\)     ( loại )

Nếu \(p=5k+3\Rightarrow p+12=5p+15=5.\left(p+3\right)⋮5\)  ( loại )

Nếu \(p=5k+4\Rightarrow p+6=5p+10=5.\left(p+2\right)⋮5\)     ( loại )

Vậy \(p\)chỉ có thể bằng \(5k\)mà \(p\)là số nguyên tố nên \(p=5\)

Vậy \(p=5\)

Answer 2

Vì p là số nguyên tố

=> p $\in$ {2;3;5;7;...}

* p = 2 => p + 6 = 8 (hợp số) => loại

* p = 3 => p + 12 = 15 (hợp số) => loại

* p = 5 => ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩p+6=11p+14=19p+12=17p+8=13{p+6=11p+14=19p+12=17p+8=13 (thỏa mãn)

* p > 5; p là số nguyên tố => p có các dạng : ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩p=5k+1p=5k+2p=5k+3p=5k+4{p=5k+1p=5k+2p=5k+3p=5k+4

p = 5k + 1 => p + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 ⋮⋮ 5 (loại)

p = 5k + 2 => p + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 ⋮⋮ 5 (loại)

p = 5k + 3 => p + 12 = 5k + 3 + 12 = 5k + 15 ⋮⋮ 5 (loại)

p = 5k + 4 => p + 6 = 5k + 4 + 6 = 5k + 10 ⋮⋮ 5 (loại)

Vậy p = 5 là giá trị cần tìm