Từ hằng đẳng thức \(x^n-1=\left(x-1\right)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+1\right)\to x^n-1\vdots x-1\).
Ta có \(x^{3n+1}+x^{2n}+1=x\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)+\left(x^{2n}-x^2\right)\) . Từ trên ta suy ra \(x^{3n}-1\) chia hết cho đa thức \(x^3-1,\) do đó \(x^{3n}-1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1.\) Vậy \(x^{3n+1}+x^{2n}+1\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1\) khi và chỉ khi \(x^{2n}-x^2\) chia hết cho đa thức \(x^2+x+1.\)
Ta có \(x^{2n}-x^2=x^2\left(x^{2n-2}-1\right)\). Ta viết \(2n-2=3k+r,0\le r\le2.\)
Khi đó \(x^{2n-2}-1=x^{3k+r}-1=x^r\left(x^{3k}-1\right)+\left(x^r-1\right)\), thành thử \(x^r-1\vdots x^2+x+1\to r=0.\)
Vậy \(2n-2\vdots3\to n-1\vdots3\), hay \(n=3k+1,\) với \(k\) là số tự nhiên.
Đáp số: \(n=3k+1,\) với \(k\) là số tự nhiên tùy ý.
