Question

\(\text{Cmr với a,b,c là các số thực không âm ta có:}\)

\(\frac{a^2}{2a^2+bc}\)\(+\)\(\frac{b^2}{2b^2+ac}\)\(+\)\(\frac{c^2}{2c^2+ab}\)\(\le\)\(1\)

Answer 1

ĐK: \(\hept{\begin{cases}2a^2+bc\ne0\\2b^2+ac\ne0\\2c^2+ab\ne0\end{cases}}\)

Từ điều kiện => a + b + c >0

Quy đồng hai vế ta có:

bđt <=> \(-3a^2b^2c^2+a^4bc+b^4ac+c^4ab\ge0\)

<=> \(abc\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)\ge0\)

<=> \(abc\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\right]\ge0\)

<=> \(abc\left[\frac{\left(a-b\right)^2}{2}+\frac{\left(b-c\right)^2}{2}+\frac{\left(a-c\right)^2}{2}\right]\ge0\)( vì a + b + c >0)

điều trên luôn đúng với mọi số thực a, b , c không âm 

Vậy bất đẳng thức ban đầu đúng.

Dấu "=" xảy ra <=> a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc a = b = c.