Question

Tam giác ABC có AB = 1 ;  \(\widehat{A}=75^o\);\(\widehat{B}=60^o\).Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx sao cho \(\widehat{CBx}=15^o\).Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với AB, cắt Bx tại D.

a) Chứng minh rằng \(DC\perp BC\)

b) Tính tổng \(BC^2+CD^2\)

Answer 1

a) \(\Delta ABC\)có: \(\widehat{ACB}=180^o-75^o-60^o=45^o\)

\(\Delta\)DAB vuông tại A có: \(\widehat{DBA}\)=60^o-15^o=45^o

=> \(\Delta\)DAB cân tại A => \(\widehat{ADB}\)=45^o

Tứ giác ABCD có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ACB}\left(=45^o\right)\)

=> Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

=> \(\widehat{DCB}+\widehat{DAB}=180^o\)

=> \(\widehat{DCB}=90^o\)

=> DC _|_ BC(đpcm)

b) \(\Delta\)ABD vuông cân tại A nên AD=AB=1

=> BD²=AB²+AD²=1²+1²=2

Xét \(\Delta\)DCB vuông tại C có:

CD²+BC²=BD²=2

Vậy BC²+CD²=2