\(\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}a+b=x\\b+c=y\\c+a=z\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=x^3+y^3+z^3-3xyz\)
\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+z^3-3x^2y-3xy^2-3xyz\)
\(=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right).z+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2-xz-yz+z^2-xy\right)\)
\(=\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=2.\left(a+b+c\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b-b-c\right)+\left(b+c-c-a\right)+\left(c+a-a-b\right)\right]\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a-c+b-a+c-b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right).0\)
\(=0\)
Châu off rồi
Tham khảo nhé~
Cảm ơn bn kudo Shinichi, đây là bài tập nâng cao chuyên đề có đáp án. Mk xem đáp án rồi, là 2 ( a 3 + b 3 + c 3 - 3abc ) cơ. Còn cách lm ntn thì mk mới hỏi mn chứ. Dù sao cx cảm ơn bn đã giải bài tập giùm mk, cách của bn mk sẽ tham khảo để sử dụng vào những bài tập khác.
Bạn phá tung ngoặc cũng được.
\(\left(a+b\right)^3+\left(b+c\right)^3+\left(c+a\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)+b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)+c^3+a^3+3ca\left(c+a\right)-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\left[ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)-\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3.\left[a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+ac^2+a^2c-\left(abc+ac^2+b^2c+bc^2+a^2b+a^2c+ab^2+abc\right)\right]\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)-3.2abc\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)\)
Chúc bạn học tốt.
Cảm ơn 2 bn nhiều, mk sẽ trả ơn các bn.
