Do có 6 người bất kỳ nên ta đặt tên 6 người đó là A; B; C; D; E; F ứng với 6 điểm A; B; C; D; E; F như hình vẽ:
Nếu hai người quen nhau thì ta nối họ bới một đoạn thẳng màu đỏ.
Nếu hai người không quen nhau thì ta nối họ bởi một đoạn thẳng mầu đen.
Dễ thấy từ A có 5 đoạn thẳng AB; AC; AD; AE; AF. Mỗi đoạn thẳng này được vẽ bằng một trong hai màu đen và đỏ tất nhiên phải có 3 đoạn cùng được vẽ bằng một màu.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử có 3 đoạn: AB; AD; và AE cùng được vẽ bằng một màu đỏ ( Xem hình vẽ).
Xét tam giác EBD có ba cạnh EB; BD; DE. Nếu cả ba cạnh này cùng được vẽ bằng một màu đen thì Người E, người B và người D không quen biết nhau ( ĐPCM). Nếu ba cạnh của tam giác EBD không cùng mầu thì sẽ có ít nhất một cạnh màu đỏ (Vì mỗi cạnh được vẽ bằng một trong hai màu đỏ hoặc đen). Không mất tính tổng quát, ta giả sử cạnh BD màu đỏ. Khi đó tam giác ABD có 3 cạnh màu đỏ nghĩa là Người A, người B và người D quen nhau ( Điều phải chứng minh).
Nếu 3 đoạn: AB; AD; và AE cùng được vẽ bằng một màu đen ta vẫn xét tam giácEBD có ba cạnh EB; BD; DE. Nếu cả ba cạnh của tam giác EBD cùng mầu đỏ thi 3 người E; B; D quen nhau. Nếu 3 cạnh của tam giác EBD không cùng mầu thì sẽ có ít nhất một cạnh màu đen (Vì mỗi cạnh được vẽ bằng một trong hai màu đỏ hoặc đen). Không mất tính tổng quát, ta giả sử cạnh BD màu đen. Khi đó tam giác ABD có 3 cạnh màu đen nghĩa là Người A, người B và người D không hề quen biết nhau ( Điều phải chúng minh).
