Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1^2}{2\cdot1}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1/3
Các câu hỏi tương tự
(Hải Phòng)
1) Cho a,blà hai số dương. Chứng minh rằng
3left(b^2+2a^2right)geleft(b+2aright)^2.
2) Cho a,b,clà ba số dương thỏa mãn điều kiện frac{1}{a+b}+frac{1}{b+c}+frac{1}{c+a}gefrac{1}{2}. Chứng minh rằng
frac{sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+frac{sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+frac{sqrt{a^2+2c^2}}{ca}gesqrt{3}.
Đọc tiếp
(Hải Phòng)
1) Cho \(a,b\)là hai số dương. Chứng minh rằng
\(3\left(b^2+2a^2\right)\ge\left(b+2a\right)^2\).
2) Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{1}{2}\). Chứng minh rằng
\(\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ca}\ge\sqrt{3}\).
(Bình Định)
Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng
\(\frac{3+a^2}{b+c}+\frac{3+b^2}{c+a}+\frac{3+c^2}{a+b}\ge6\).
(Hải Phòng)
1) Cho x,y0, chứng minh rằng frac{1}{x+y}lefrac{1}{4}left(frac{1}{x}+frac{1}{y}right).
2) Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện frac{1}{a}+frac{1}{b}+frac{1}{c}16. Chứng minh rằng
frac{1}{3a+2b+c}+frac{1}{a+3b+2c}+frac{1}{2a+b+3c}lefrac{8}{3}.
Đọc tiếp
(Hải Phòng)
1) Cho \(x,y>0\), chứng minh rằng \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\).
2) Cho \(a,b,c\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16\). Chứng minh rằng
\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\le\frac{8}{3}\).
(Nghệ An)
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\le z\). Chứng minh rằng
\(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge\frac{27}{2}\).
(Hải Phòng)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a^3+b^3}{2ab}+\frac{b^3+c^3}{2bc}+\frac{c^3+a^3}{2ca}\ge a+b+c\).
(Thanh Hóa)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: \(a^2+2b^2\le3c^2\) . Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\ge\dfrac{3}{c}\).
(Hưng Yên)
Cho \(a,b,c\) là ba số lớn hơn 1. Chứng minh rẳng \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{c-1}+\frac{c^2}{a-1}\ge12\).
(Nghệ An)
Cho \(x,y\) là hai số dương thỏa mãn điều kiện \(x+y\ge3\). Chứng minh rằng
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}\ge\frac{9}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Bắc Giang)
Cho \(a,b,c\) là ba số dương. Chứng minh rằng
\(\frac{9a}{b+c}+\frac{25b}{c+a}+\frac{64c}{a+b}>30\).