1. Dấu hiệu chia hết cho 2: các số x có tậncùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. (ai cũng bít)
2. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số x có tổngcác chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.
3. Dấu hiệu chia hết cho 4: các số x có 2 chữsố tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.
4. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số x có tậncùng bằng 0, 5 thì chia hết cho 5.
5. Dấu hiệu chia hết cho 6: các chữ số vừa cóthể chia hết cho 2 vừa có thể chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.
6. Dấu hiệu chia hết cho 7:
Quy tắc thứ nhất: Lấy chữ số đầu tiên bêntrái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được baonhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội củ 7; được bao nhiêunhân với 3 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuốicùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
Quy tắc thứ hai: Lấy chữ số đầu tiên bên phảinhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêunhân với 5 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với5 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng làmột số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.
7. Dấu hiệu chia hết cho 8: các số x có 3 chữsố tận cùng chia hết cho 8 thì x chia hết cho 8.
8. Dấu hiệu chia hết cho 9: Trong các chữ số 61 x chia hết cho 9 thì x chia hếtcho 9.
9. Dấu hiệu chia hết cho 10: những số x có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10.
10. Dấu hiệu chia hết cho 11: nếu tổng tất cảcác chữ số ở vị trí chẵn như 2 4 6 8 bằng tổng các chữ số ở vị trí lẻ thì xchia hết cho 11.
11. Dấu hiệu chia hết cho 12: nếu x vừa chiahết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì x chia hết cho 12.
12. Dấu hiệu chia hết cho 13:
Qui tắc trên đây cũng có thể áp dụng để nhậnbiết dấu hiệu chia hết cho 13. Bạn hãy thục hành vói số:
N = 873612 190692815265867774391091
Số N gồm 30 chữ số, nên có thể chia thành 10nhóm số [chẳn], mỗi nhóm 3 số..
N = 873. 612. 190. 692. 815. 265. 867. 774.391. 091.
1. S1 = 8 - 6 + 1 - 6 + 8 - 2 + 8 - 7 + 3 - 0= 7
7 + ["0"] = 70 => 70 = [5 x 13] + 5. => R1 = 5.
2. S2 = [R1]5 + 7 - 1 + 9 - 9 + 1 - 6 + 6 - 7+ 9 - 9 = 5.
5 + [ "0" ] = 50. => 50 = [ 3 x 13 ] + 11. => R2 = 11.
3. S3 = [R2]11 + 3 - 2 + 0 - 2 + 5 - 5 + 7 -4 + 1 - 1 = 13.
* Ðến đây, ta tính được S3 = 13 [ bội của13].
Vậy có thể kết luận:
Số N = 8736. . . . . 1091. chia hết cho 13.
Lưu ý: Chỉ có một trong trong những số sauđây là chia hết cho 13. Cũng vậy, chỉ có
một trong những số này chia hết cho 7. Và cũng chỉ có một trong những số nàychia hết cho 11.
Bạn hãy thử tìm xem nhũng số đó là số nào?
N1 = 7942603594320271151120681.
N2 = 277900859916245742465597.
N3 = 41986360335384870752178.
N4 = 157226 157686018425.
13. Dấu hiệu chia hết cho 14: x là số chiahết cho 14 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 7.
14. Dấu hiệu chia hết cho 15: x chia hết cho15 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 5.
15. Dấu hiệu chia hết cho 16: x là số chiahết cho 16 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 8.
16. Dấu hiệu chia hết cho 17:
Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi5 lần số hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 17 thì nó chia hết cho 17
VD: lấy số 153 nha bạn
15 - 3x5 = 0 chia hết cho 17 => 153 chia hết cho 17
17. Dấu hiệu chia hết cho 18: x là số chiahết cho 18 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 9.
18. Dấu hiệu chia hết cho 19:
LÝ THUYẾT
Mọi số N đều có thể viết dưới dạng N = 10x +y trong đó x là số chục không phải là chữ số hàng chục, mà là tổng số các chụctròn trong số N và y là chữ số đơn vị.
Cần chứng minh N là Bội của 19 khi và chỉ khi
N* = x + 2y là Bội của 19
Muốn vậy, phải nhân N vói 10 và trù N vàoTích số này
=> 10N* - N = 10[x + 2y] - [10x + y]= 19y
Do đó nếu N là Bội của 19 thì N = 10N*- 19 y là Bội của 19.
Và ngược lại, nếu N chia hết cho 19 thì 10N*= N + 19y là Bội của 19
Khi đó tất nhiên N chia hết cho 19
THỰC HÀNH
Xác định tính chia hết cho 19 của N =47045881
Áp dụng liên tục tiêu chuẩn chia hết
4704588.1 [ Số đơn vị là1]. Suy ra 470588 +2 = 4704590
47045.9 [Số đơn vị là9]. Suy ra 47045+18=47063
4706.3 [Số đơn vị là3]. Suy ra 4706+6=4712
471.2 [Số đơn vị là 2]. Suy ra 471+4=475
47.5 [Số đơn vị là 5]. Suy ra 47+10=57
5.7 [Số đơn vị là7]. Suy ra 5+14=19
Vi 19 chia hết cho 19 nên các số 57, 475,4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881 cũng chia hết cho 19
19. Dấu hiệu chia hết cho 20: x chia hết cho20 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 10.
20. Dấu hiệu chia hết cho 21: x chia hết cho21 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 7.
21. Dấu hiệu chia hết cho 29: ta lấy số hàngđơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 19 thì nó chia hết cho 19.
22. Dấu hiệu chia hết cho 37: ta lấy số hàngđơn vị nhân 11 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 37 thì nó chia hết cho 37.
23. Dấu hiệu chia hết cho 31: ta lấy số hàngđơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 31 thì nó chia hết cho 31.
24. Dấu hiệu chia hết cho 41: ta lấy số hàngđơn vị nhân 4 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 41 thì nó chia hết cho 41.
25. Dấu hiệu chia hết cho 43: ta lấy số hàngđơn vị nhân 13 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 43 thì nó chia hết cho 43.
26. Dấu hiệu chia hết cho 59: ta lấy số hàngđơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 59 thì nó chia hết cho 59.
27. Dấu hiệu chia hết cho 61: ta lấy số hàngđơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 61thì nó chia hết cho 61.
1/ Chia hết cho 2
Tính chẳn lẻ của một số tự nhiên (mở rông đến số nguyên) quyết định việc nó có chia hết cho 2 không:
- Số lẻ không thể chia hết cho 2. Nếu là số lẻ thì chia cho 2 luôn có só dư là 1
Ví dụ: 465124 có thể chia hết cho 2, nhưng 246809 lại ko chia hết cho 2.
2/ Chia cho 5 & 25:
- Mọi số tự nhiên chia hết cho 5 thì chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5.
-Mọi số tự nhiên chia hết cho 25 thì hai số cuối cùng của nó (tức là hàng chục và hàng đơn vị) chia hết cho 25 là 100, 25, 50 hoặc 75. Ví dụ như 1207895 có thể chia hết cho 5 nhưng không thể chia hết cho 25.
3/ Chia hết cho 3 & 9:
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 3 là tồng các số của nó có thể chia hết cho 3;
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 9 là tổng các số của nó chia hết cho 9.
Ví dụ như: tổng các chữ số của 147345 là 5 + 4 + 3 + 7 + 4 + 1 = 24 có thể chia hết cho 3, nhưng không thể chia hết cho 9, cho nên số 147345 chỉ có thể chia hết cho 3, không thể chia hết cho 9.
* Chứng minh
Tại sao lại có những quy tắc đơn giản như vậy?
Bởi vì nếu a0, a1, a2, a3... lần lượt là các số của hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn… của số tự nhiên A thì:
A = a0 + 10a1 + 102a2 + 103a3 + ….
= [(10 – 1) a1 + (102 -1)a2 + (103 – 1)a3 +...] + (a0 + a1 + a2 + a3 +...)
Có thể dẽ dàng kiểm tra tính toán được là (10n – 1) (n là số tự nhiên) đều là bội số của 3 và 9, nên số trong hàng hoặc vuông cuối cùng của phép tính trên là bội số của 3 và 9.
Từ đó có thể rút ra kết luận rằng, để biết A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không, chỉ cần xem tổng các số a0 + a1 + a2 + a3 + … của A có phải là bội số của 3 hoặc 9 không?
4/ Chia cho 4 & 8:
- Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 4 là tổng chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của nó có thể chia hết cho 4.
- Quy tắc phân biệt một số tự nhiên chia hết cho 8 là tổng số hàng đơn vị, hai lần chữ số hàng chục và bốn lần chữ số hàng trăm của nó có thể chia hết cho 8.
Ví dụ,
Do 6 + 2 x 7 = 20 chia hết cho 4, cho nên số 1390276 có thể chia hết cho 4;
Do 6 + 2 x 7 + 4 x 2 = 28 không thể chia hết cho 8 nên số 130276 không thể chia hết cho 8.
Nếu thay số hàng trăm bằng số 3; 5 hoặc7 thì ta được số 130376 và 130576 chia hết cho 8. Vì: 6 + 2 x 7 + 4 x 3 = 32 ; 6 + 2 x 7 + 4 x 5 = 40; 6 + 2 x 7 + 4 x 7 = 48
*Cách chứng minh hai quy tắc này giống cách chứng minh hai quy tắc chia hết cho 3 ở phần (3),
Cụ thể: chứng minh quy tắc chia hết cho 8, còn việc chứng minh quy tắc kia chúng tôi để dành cho các bạn nhỏ tự hoàn thành. Sử dụng ký hiệu trong (3), A có thể chia thành A = = [(10 – 2) a1 + (102 -4)a2 + 103a3 ...] + (a0 + 2a1 + 4a2). Dễ dàng nhận ra rằng các số trong dấu hoặc vuông là bội số của 8.
*Do vậy;
- muốn phán đoán xem A có phải là bội số của 8 hay không thì chỉ cần xem 3 số tận cùng (a0 + 2a1 + 4a2) có phải là bội số của 8 hay không?
- muốn phán đoán xem A có phải là bội số của hay không thì chỉ cần xem 2 số tận cùng (a0 + 2a1) có phải là bội số của 4 hay không?
5/ Chia hết cho 11
Quy tắc đoán một số tự nhiên chia hết cho 11 là hiệu của tổng các số ở vị trí số lẻ và tổng các số ở vị trí số chẵn của nó có thể chia hết cho 11.
Công thức tổng quát _____
A = a b c d chia hết cho 11 khi [(a + c) – (b + d) ] chia hết 11
Ví dụ tổng các số ở vị trí số lẻ là 9 + 8 + 6 = 23, tổng các số ở vị trí số chẵn là 2 + 8 + 2 = 12, hiệu của hai tổng này bằng 11, có thể chia hết cho 11 cho nên số 268829 có thể chia hết cho 11.
Ví dụ khác: 1257643, vì (3 + 6 + 5 + 1) – (2 + 7 + 4) = 2 cho nên số 1257643 không thể chia hết cho 11.
1. Dấu hiệu chia hết cho 2: các số x có tậncùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. (ai cũng bít)2. Dấu hiệu chia hết cho 3: các số x có tổngcác chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.3. Dấu hiệu chia hết cho 4: các số x có 2 chữsố tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.4. Dấu hiệu chia hết cho 5: các số x có tậncùng bằng 0, 5 thì chia hết cho 5.5. Dấu hiệu chia hết cho 6: các chữ số vừa cóthể chia hết cho 2 vừa có thể chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.6. Dấu hiệu chia hết cho 7:Quy tắc thứ nhất: Lấy chữ số đầu tiên bêntrái nhân với 3 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được baonhiêu nhân với 3 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội củ 7; được bao nhiêunhân với 3 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuốicùng là một số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.Quy tắc thứ hai: Lấy chữ số đầu tiên bên phảinhân với 5 rồi cộng với chữ số thứ hai rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêunhân với 5 cộng với chữ số thứ 3 rồi trừ cho bội của 7; được bao nhiêu nhân với5 cộng với chữ số thứ 4 rồi trừ cho bội của 7; .... Nếu kết quả cuối cùng làmột số chia hết cho 7 thì số đã cho chia hết cho 7.7. Dấu hiệu chia hết cho 8: các số x có 3 chữsố tận cùng chia hết cho 8 thì x chia hết cho 8.8. Dấu hiệu chia hết cho 9: Trong các chữ số 61 x chia hết cho 9 thì x chia hếtcho 9.9. Dấu hiệu chia hết cho 10: những số x có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10.10. Dấu hiệu chia hết cho 11: nếu tổng tất cảcác chữ số ở vị trí chẵn như 2 4 6 8 bằng tổng các chữ số ở vị trí lẻ thì xchia hết cho 11.11. Dấu hiệu chia hết cho 12: nếu x vừa chiahết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì x chia hết cho 12.12. Dấu hiệu chia hết cho 13:Qui tắc trên đây cũng có thể áp dụng để nhậnbiết dấu hiệu chia hết cho 13. Bạn hãy thục hành vói số:N = 873612 190692815265867774391091Số N gồm 30 chữ số, nên có thể chia thành 10nhóm số [chẳn], mỗi nhóm 3 số..N = 873. 612. 190. 692. 815. 265. 867. 774.391. 091.1. S1 = 8 - 6 + 1 - 6 + 8 - 2 + 8 - 7 + 3 - 0= 77 + ["0"] = 70 => 70 = [5 x 13] + 5. => R1 = 5.2. S2 = [R1]5 + 7 - 1 + 9 - 9 + 1 - 6 + 6 - 7+ 9 - 9 = 5.5 + [ "0" ] = 50. => 50 = [ 3 x 13 ] + 11. => R2 = 11.3. S3 = [R2]11 + 3 - 2 + 0 - 2 + 5 - 5 + 7 -4 + 1 - 1 = 13.* Ðến đây, ta tính được S3 = 13 [ bội của13].Vậy có thể kết luận:Số N = 8736. . . . . 1091. chia hết cho 13.Lưu ý: Chỉ có một trong trong những số sauđây là chia hết cho 13. Cũng vậy, chỉ cómột trong những số này chia hết cho 7. Và cũng chỉ có một trong những số nàychia hết cho 11.Bạn hãy thử tìm xem nhũng số đó là số nào?N1 = 7942603594320271151120681.N2 = 277900859916245742465597.N3 = 41986360335384870752178.N4 = 157226 157686018425.13. Dấu hiệu chia hết cho 14: x là số chiahết cho 14 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 7.14. Dấu hiệu chia hết cho 15: x chia hết cho15 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 5.15. Dấu hiệu chia hết cho 16: x là số chiahết cho 16 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 8.16. Dấu hiệu chia hết cho 17:Lấy các số đứng trước số ở hàng đơn vị trừ đi5 lần số hàng đơn vị, nếu hiệu đó chia hết cho 17 thì nó chia hết cho 17VD: lấy số 153 nha bạn15 - 3x5 = 0 chia hết cho 17 => 153 chia hết cho 1717. Dấu hiệu chia hết cho 18: x là số chiahết cho 18 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 9.18. Dấu hiệu chia hết cho 19:LÝ THUYẾTMọi số N đều có thể viết dưới dạng N = 10x +y trong đó x là số chục không phải là chữ số hàng chục, mà là tổng số các chụctròn trong số N và y là chữ số đơn vị.Cần chứng minh N là Bội của 19 khi và chỉ khiN* = x + 2y là Bội của 19Muốn vậy, phải nhân N vói 10 và trù N vàoTích số này=> 10N* - N = 10[x + 2y] - [10x + y]= 19yDo đó nếu N là Bội của 19 thì N = 10N*- 19 y là Bội của 19.Và ngược lại, nếu N chia hết cho 19 thì 10N*= N + 19y là Bội của 19Khi đó tất nhiên N chia hết cho 19THỰC HÀNHXác định tính chia hết cho 19 của N =47045881Áp dụng liên tục tiêu chuẩn chia hết4704588.1 [ Số đơn vị là1]. Suy ra 470588 +2 = 470459047045.9 [Số đơn vị là9]. Suy ra 47045+18=470634706.3 [Số đơn vị là3]. Suy ra 4706+6=4712471.2 [Số đơn vị là 2]. Suy ra 471+4=47547.5 [Số đơn vị là 5]. Suy ra 47+10=575.7 [Số đơn vị là7]. Suy ra 5+14=19Vi 19 chia hết cho 19 nên các số 57, 475,4712, 47063, 470459, 4704590, 47045881 cũng chia hết cho 1919. Dấu hiệu chia hết cho 20: x chia hết cho20 khi và chỉ khi x chia hết cho 2 và x chia hết cho 10.20. Dấu hiệu chia hết cho 21: x chia hết cho21 khi và chỉ khi x chia hết cho 3 và x chia hết cho 7.21. Dấu hiệu chia hết cho 29: ta lấy số hàngđơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 19 thì nó chia hết cho 19.22. Dấu hiệu chia hết cho 37: ta lấy số hàngđơn vị nhân 11 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 37 thì nó chia hết cho 37.23. Dấu hiệu chia hết cho 31: ta lấy số hàngđơn vị nhân 3 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 31 thì nó chia hết cho 31.24. Dấu hiệu chia hết cho 41: ta lấy số hàngđơn vị nhân 4 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 41 thì nó chia hết cho 41.25. Dấu hiệu chia hết cho 43: ta lấy số hàngđơn vị nhân 13 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 43 thì nó chia hết cho 43.26. Dấu hiệu chia hết cho 59: ta lấy số hàngđơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả trừ với số tạo bởi các số liền trước, nếu hiệuchia hết cho 59 thì nó chia hết cho 59.27. Dấu hiệu chia hết cho 61: ta lấy số hàngđơn vị nhân 6 rồi lấy kết quả cộng với số tạo bởi các số liền trước, nếu tổngchia hết cho 61thì nó chia hết cho 61.
