(Một dấu hiệu mới để nhận biết tứ giác nội tiếp)
Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx’ lấy điểm C, trên tia My lấy điểm B và F (B nằm giữa M và F), trên tia My’ lấy các điểm D và E (D nằm giữa M và E). Biết rằng MA.MB = MC.MD và MD.ME = MB.MF. Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
b) Bốn điểm B, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.
c) AC // EF.
y'
a) b) Đưa các đẳng thức về dạng đẳng thức của các tỉ số và áp dụng để chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
c) Từ hai phần a và b, ta suy ra
a) b) Đưa các đẳng thức về dạng đẳng thức của các tỉ số và áp dụng để chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
c) Từ hai phần a và b, ta suy ra .
a) - \(MA.MB=MC.MD\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\)
- \(\Delta MAC\) và \(\Delta MBD\) có:
\(\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta MAC\sim\Delta MDB\) (c-g-c)
\(\Rightarrow\widehat{A_1}=\widehat{D_2}\) ( góc tương ứng) (1)
- \(MA.MB=MC.MD\left(gt\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\)
- \(\Delta MBC\) và \(\Delta MAD\) có:
\(\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{M_3}=\widehat{M_4}\) (đối đỉnh)
=> \(\Delta MCB\sim\Delta MAD\) (c-g-c)
=> \(\widehat{A_2}=\widehat{C_1}\) (góc tương ứng) (2)
\(\Delta BCD,\widehat{C_1}+\widehat{D_2}+\widehat{CBD}=180^0\) (tổng 3 góc tam giác) (3)
- Từ (1) (2) và (3) => \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{CBD}=180^0\) hay \(\widehat{CAD}+\widehat{CBD}=180^0\)
=> A, B,C,D cùng thuộc 1 đường tròn ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
b) \(MD.ME=MB.MF\Rightarrow\dfrac{MD}{MF}=\dfrac{MB}{ME}\)
\(\Delta MDB\) và \(\Delta MEF\) có:
\(\dfrac{MD}{MF}=\dfrac{MB}{ME}\left(cmt\right)\)
\(\widehat{M_2}\) chung
=> \(\Delta MDB\sim\Delta MFE\) (c-g-c)
=> \(\widehat{D_2}=\widehat{F_1}\) (góc tương ứng)
mà \(\widehat{D_2}+\widehat{D_3}=180^0\) (kề bù)
=> \(\widehat{F_1}+\widehat{D_3}=180^0\)
=> B,D,E,F cùng thuộc 1 đường tròn ( dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
c) \(\widehat{A_1}=\widehat{D_2}(\Delta MAC\sim\Delta MDB)\left(1\right)\)
mà \(\widehat{D_2}=\widehat{F_1}\left(cmt\right)\left(2\right)\)
Từ (1) (2) => \(\widehat{A_1}=\widehat{F_1}\)
mà \(\widehat{A_1}\) và \(\widehat{F_1}\) so le trong
=> AC // EF
a,Ta có: MA.MB=MC.MD
=>MA/MD=MC/MB (1)
Xét △AMC và △DMB có:
M1=M2(đđ) =>△ AMC ∞ △DMB
MA/MD=MC/MB (theo 1)
=>A1=D1 (góc t/ứng)
Xét tứ giác ACBD có: A1=D1 ( cmt)
Mà A1 và D1 là 2 góc cùng nhìn cung CB
=> tứ giác ACBD là tứ giác nội tiếp
<=> A,B,C,D cùng thuộc 1 đt (đpcm)
b, Ta có: MD.ME=MB.MF
=> MD/MF=MB/ME
=> BD là đường TB của △ MEF
=>BD//EF
<=> D1=F1 (SLT)
Mà D1+ BDE= 180 (kề bù)
=>F1+BDE= 180
=> tứ giác BDEF là tứ giác nội tiếp
<=> B,D,E,F cùng thuộc 1 đt (đpcm)
c,Ta có : A1=D1 (cmt)
D1=F1 (cmt)
=> A1=F1
Mà 2 góc này là 2 góc so le trong
=>CA // EF (đpcm)
