Đề sai . Với m = n = 1 thì
\(VT-VP=\left|1-\sqrt{2}\right|-\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}\)
\(=\sqrt{2}-1-\sqrt{3}+\sqrt{2}\)
\(=2\sqrt{2}-\left(1+\sqrt{3}\right)\)
Dễ thấy \(2\sqrt{2}>1+\sqrt{3}\)Nên VT - VP > 0
=> VT > VP
=> Đề sai :3
Đề sửa là > thì vẫn sai XD
VD: \(m=n=\frac{1}{4}\)thế vào được
\(\left|\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}}-\sqrt{2}\right|\ge\frac{1}{\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left|1-\sqrt{2}\right|\ge\frac{16}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge\frac{16\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3-2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2}-1\ge16\sqrt{3}-16\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow17\sqrt{2}\ge16\sqrt{3}+1\)Vô lí !
=> Đề sai lần 2 hahaha
m,n nguyên dương nhé cậu sorry đề tớ thiếu nhiều nhỉ :)
\(\text{Giải}\)
\(\text{Ta chứng minh phản chứng giả sử tồn tại các số nguyên dw m,n sao cho:}\)
\(|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|< \frac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\)
\(mà:|\frac{m}{n}-\sqrt{2}|\ge\frac{m}{n}-\sqrt{2}nên:\)
\(\frac{m}{n}-\sqrt{2}< \frac{1}{n^2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}\Leftrightarrow\frac{m-\sqrt{2}n}{n}< \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{n^2}\)
\(\Leftrightarrow mn-\sqrt{2}n^2< \sqrt{3}-\sqrt{2}\Leftrightarrow n\left(m+n\sqrt{2}\right)< 2\sqrt{2}n^2+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow.......\left(\text{chiều giải tiếp giờ đi ăn cơm :D}\right)\)
