nếu n=3 thì đúng
nếu n khác 3 thì n^2 + 2 chia hết cho 3 và>3 nên ko là số nguyên tố làm v đi
Nếu \(n>3\) mà \(n\) nguyên tố nên \(n\) chia 3 dư 1 hoặc 2 \(\Rightarrow n=3k\pm1\left(k\inℕ^∗\right)\)
Khi đó : \(n^2+2=\left(3k\pm1\right)^2+2=9k^2\pm3k+3⋮3\)
Điều này trái với giả thiết.
Vì vậy \(n=3\). Thử lại ta thấy đúng : \(\hept{\begin{cases}n=3\\n^2+2=11\\n^3+2=29\end{cases}}\) ( đpcm )
Vì n là số nguyên tố:
+)n=3 => n^2+2=11 (t/m) => n^3+2 =29 là snt (đpcm)
+) n khác 3 mà n là số nguyên tố=> n không chia hết cho 3
=> n^2 không chia hết cho 3
n^2 +2 >=2^2+2 =6>3 mà n^2+2 là số nguyên tố => n^2+2 không chia hết cho 3
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp n^2;n^2+1;n^2+2 có 1 số chia hết cho 3
mà n^2; n^2+2 không chia hết cho 3
=> n^2+1 chia hết cho 3
=> n^2 chia 3 dư 2 (vô lý vì n^2 là số chính phương)
Vậy đpcm
Có cách này nhưng hơi dài !
Vì n và n2 + 2 là các số nguyên tố có cùng tính chẵn lẻ và n2 + 2 > n nên n và n2 + 2 đều là số nguyên tố lẻ .
+) Nếu n = 3 thì n2 + 2 = 11 ; n3 + 2 = 29 cũng là các số nguyên tố ( thỏa mãn )
+) Nếu n > 3
Do n là số nguyên tố nên n không chia hết cho 3
Mặt khác ( n - 1 )n( n + 1 ) luôn chia hết cho 3
Mà n không chia hết cho 3
=> ( n - 1 ) ( n + 1 ) chia hết cho 3
Do đó n2 -1 chia hết cho 3
\(\Rightarrow\left[\left(n^2-1\right)+3\right]⋮3\)
\(\Leftrightarrow n^2+2⋮3\)
Mà \(n^2+2>3\)
nên \(n^2+2\)là hợp số ( mâu thuẫn với đề bài )
=> n > 3 không thỏa mãn
Vậy ..............
