bài này có 4 cách làm nha :)))))))
Mình học ngu nên chỉ biết cách của lớp 1 mà ai cũng biết:
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\) ta cần c/m: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Tới đây khó quá không biết làm sao nữa.
Đề HSG huyện Yên Thành:)
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4bc}}=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\ge\frac{1}{a}-\frac{b+c}{4bc}\)
Tương tự
\(\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\ge\frac{1}{b}-\frac{c+a}{4ca};\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{c}-\frac{c+a}{4ca}\)
Cộng lại ta có:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
P/S:e hok ngu nên chỉ biết cách của mẫu giáo thôi à:(((
Có lẽ nên làm kỹ phần này:v
Cộng lại ta có:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{b+c}{4bc}-\frac{c+a}{4ca}-\frac{a+b}{4ab}\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{4c}-\frac{1}{4b}-\frac{1}{4a}-\frac{1}{4c}-\frac{1}{4b}-\frac{1}{4a}\)
\(=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\left(đpcm\right)\)
C1:
hướng dẫn tận tình nhé :
bđt sẽ đc chứng minh khi ta chỉ ra đc
\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]}\)\(\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
=> Chỉ cần biến đổi vế trái rồi đpcm :))
cách mik vừa hướng dẫn sẽ áp dụng bđt bunhiacopxki nên ai chưa hcj thì thui z
