Question

If the sum of first n natural numbers starting with 1 is a 3 digit number with identical digits, find n.

Answer 1

Nếu tổng của n thứ tự tự nhiên đầu tiên bắt đầu bằng 1 là một số 3 chữ số với các chữ số giống nhau, tìm n.

Answer 2

Gọi tổng đó là aaa(aaa thuộc N*)

Ta có:

                   1+2+3+....+n=aaa

                   (n+1)x((n-1):1+1) : 2=a x 111

                   (n+1) x n:2=a x 3 x 37

                   (n+1) x n=a x 2 x 3 x37

suy ra : (n+1)n chia hết cho 37

suy ra n thuộc {36;37;73;74;....}

Vì 1+2+3+4+...+n=(73+1)73:2=74 x 73: 2=2701(Loại)

suy ra :n<73

suy ra : n thuộc {36;37}

+n=36   Suy ra n+1=37   Suy ra (n+1)n:2=666(Thỏa mãn)

+n=37   Suy ra n+1=38   Suy ra (n+1)n:2=703(Loại)

Vậy n=36