a) AI là tia phân giác của của góc BAC => \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}=\frac{1}{2}.\widehat{BAC}\) (1)
Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CAM\) có:
AB=AC (giả thiết đề bài)\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)(suy ra ở (1))AM là cạnh chung=>\(\Delta BAM\)= \(\Delta CAM\) (c.g.c) =>\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\) (2 góc tương ứng)
\(\Delta ABC\) có AB=AC => \(\Delta ABC\) là tam giác cân => \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
=>\(\widehat{ABM}+\widehat{MBC}=\widehat{ACM}+\widehat{MCB}\) => \(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
=>\(\Delta BMC\) là tam giác cân => CM=BM (đpcm)
b) Xét \(\Delta BAI\) và \(\Delta CAI\) có:
AB=AC (giả thiết đề bài)\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (suy ra ở (1))AI cạnh chung=>\(\Delta BAI\)= \(\Delta CAI\)(c.g.c) => \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)(2 góc tương ứng)
Mà \(\widehat{AIB}\) và \(\widehat{AIC}\) kề bù => \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^o\) => \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=90^o\)
=> \(\widehat{AIB}\) và \(\widehat{AIC}\) là 2 góc vuông
Dễ thấy góc BHD và góc AIB là 2 góc vuông => \(\widehat{BHD}=\widehat{AIB}\)=> DH // AI
=>\(\widehat{BDH}=\widehat{BAI}\) (2 góc đồng vị)
Từ (1) => \(\widehat{BDH}=\widehat{BAI}=\frac{1}{2}.\widehat{BAC}\)=> \(2.\widehat{BDH}=\widehat{BAC}\) (đpcm)
