Question

(Hà Nội)

Cho \(a,b,c\)là ba số dương thỏa mãn điều kiện  \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\). Chứng minh rằng  \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\).

Answer 1

Viết lại điều kiện đã cho dưới dạng

        \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6ab1​+bc1​+ca1​+a1​+b1​+c1​=6

Áp dụng bất đẳng thức hiển nhiên      xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2xy+yz+zx≤x2+y2+z2  ta có

 \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}ab1​+bc1​+ca1​≤a21​+b21​+c21​     (1)

Lại áp dụng     x\le\frac{x^2+1}{2}x≤2x2+1​, ta có     \frac{1}{a}\le\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{a^2}\right)a1​≤21​(1+a21​), do đó

                                                \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}a1​+b1​+c1​≤21​(a21​+b21​+c21​)+23​   (2)

Cộng theo vế (1), (2) và chú ý đến điều kiện ta được

   6\le\frac{3}{2}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+\frac{3}{2}6≤23​(a21​+b21​+c21​)+23​

Suy ra   3\le\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}3≤a21​+b21​+c21​    (đpcm)