Gọi M,m tương ứng là GTLNvà GTNN của hàm số y=\(\frac{2cosx+1}{cosx-2}\). Khẳng định nào sau đây đúng
A.M+9m=0 B.9M-m=0 C.9M+m=0 D.M+m=0
2,Cho hàm số y=\(\frac{2kcosx+k+1}{cosx+sinx+2}\). GTLN của hàm số y là nhỏ nhất khi k thuộc khoảng
A.(0;\(\frac{1}{2}\)) B.(\(\frac{1}{3}\);\(\frac{3}{4}\)) C.(\(\frac{3}{4}\);\(\frac{4}{3}\)) D(\(\frac{3}{2}\);2)
3, Phương trình cos2x.sin5x+1=0 có mấy nghiệm thuộc đoạn \([\)\(\frac{-\pi}{2}\);2\(\pi\)]
4,Phương trình cos\(\frac{5x}{2}\).cos\(\frac{x}{2}\)-1=sin4x.sin2x có mấy nghiệm thuộc [-100\(\pi\);100\(\pi\)]
5, Phương trình 5+\(\sqrt{3}\) sinx(2cosx-3)=cosx(2cosx+3) có mấy nghiệm thuộc khoảng (0;10pi)
6, Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng (0;100pi) của phương trình (sin\(\frac{x}{2}\)+cos\(\frac{x}{2}\))\(^2\)+căn 3.cosx=3.Tính tổng phần tử S
7, Gọi x0 là nghiệm dương min của cos2x+\(\sqrt{3}\)sin2x+\(\sqrt{3}\)sĩn-cosx=2. Mệnh đề nào sau đây đứng
A.(0;pi/12) B.[pi/12;pi/6] C(pi/6;pi/3] D.(pi/3;pi/2]
8,Phương trình 48-\(\frac{1}{cos^4x}\)-\(\frac{2}{sin^2x}\)(1+cot2x.cotx)=0 có mấy nghiệm
9, GỌI S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để pt 3\(\sqrt{sinx+cosx+2}\)+\(\sqrt{2}\)sin(x+\(\frac{\pi}{4}\))+m-1=0 có nghiệm .số phần tử của S là
1.
Hàm tuần hoàn với chu kì \(2\pi\) nên ta chỉ cần xét trên đoạn \(\left[0;2\pi\right]\)
\(y'=\frac{-4}{\left(cosx-2\right)^2}.sinx=0\Leftrightarrow x=k\pi\)
\(\Rightarrow x=\left\{0;\pi;2\pi\right\}\)
\(y\left(0\right)=-3\) ; \(y\left(\pi\right)=\frac{1}{3}\) ; \(y\left(2\pi\right)=-3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M=\frac{1}{3}\\m=-3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow9M+m=0\)
2.
\(\Leftrightarrow y.cosx+y.sinx+2y=2k.cosx+k+1\)
\(\Leftrightarrow y.sinx+\left(y-2k\right)cosx=k+1-2y\)
Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:
\(\Rightarrow y^2+\left(y-2k\right)^2\ge\left(k+1-2y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-4k.y+4k^2\ge4y^2-4\left(k+1\right)y+\left(k+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-4y-3k^2+2k+1\le0\)
\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)^2\le3k^2-2k+1\)
\(\Leftrightarrow y\le\sqrt{\frac{3k^2-2k+1}{2}}+1\)
\(y_{max}=f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3k^2-2k+1}+1\)
\(f\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{3\left(k-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{2}{3}}+1\ge\frac{1}{\sqrt{3}}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(k=\frac{1}{3}\)
Đáp án A
3.
\(\Leftrightarrow cos2x.sin5x=-1\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}1\le cos2x\le1\\-1\le sin5x\le1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow cos2x.sin5x\ge-1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}cos2x=1\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2sin^2x=1\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}sinx=0\\sin5x=-1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại x thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}cos2x=-1\\sin5x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}cosx=0\\sin5x=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)
Pt có đúng 1 nghiệm trên đoạn đã cho
4.
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}cos3x+\frac{1}{2}cos2x-1=\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}cos6x\)
\(\Leftrightarrow cos6x+cos3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow2cos^23x+cos3x-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cos3x=1\\cos3x=-\frac{3}{2}\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{k2\pi}{3}\)
\(-100\pi\le\frac{k2\pi}{3}\le100\pi\Rightarrow-150\le k\le150\)
Pt đã cho có \(150-\left(-150\right)+1=301\) nghiệm trên đoạn đã cho
5.
\(5+2\sqrt{3}sinx.cosx-3\sqrt{3}sinx=2cos^2x+3cosx\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx\left(2sinx-\sqrt{3}\right)+2sin^2x-3\sqrt{3}sinx+3=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{3}cosx\left(2sinx-\sqrt{3}\right)+\left(2sinx-\sqrt{3}\right)\left(sinx-\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2sinx-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}cosx+sinx-\sqrt{3}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(1\right)\\\sqrt{3}cosx+sinx=\sqrt{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\left(2\right)\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(\left[{}\begin{matrix}x=k2\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\end{matrix}\right.\)
Pt đã cho có \(6+5+5=16\) nghiệm trên đoạn đã cho
6.
\(\Leftrightarrow1+2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{3}cosx=3\)
\(\Leftrightarrow sinx+\sqrt{3}cosx=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\)
\(0< \frac{\pi}{6}+k2\pi< 100\pi\Rightarrow-\frac{1}{12}< k< \frac{599}{12}\)
\(\Rightarrow0\le k\le49\) (có 50 giá trị k đồng nghĩa có 50 nghiệm)
Tổng giá trị các nghiệm trên khoảng đã cho:
\(\sum x=\frac{\pi}{6}.50+\sum\limits^{49}_02k\pi=\frac{7375\pi}{3}\)
7.
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1\)
Đặt \(x-\frac{\pi}{6}=t\Rightarrow x=t+\frac{\pi}{6}\)
Pt trở thành:
\(sin\left(2t+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)+sint=1\)
\(\Leftrightarrow sin\left(2t+\frac{\pi}{2}\right)+sint=1\)
\(\Leftrightarrow cos2t+sint=1\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^2t+sint=1\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sint=0\\sint=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0\\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k\pi\\x=\frac{\pi}{3}+k2\pi\\x=\pi+k2\pi\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\frac{\pi}{6}\)
Đáp án B
8.
ĐKXĐ:
\(48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{2}{sin^2x}\left(\frac{sin2x.sinx+cos2x.cosx}{sin2x.sinx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{2}{sin^2x}\left(\frac{cosx}{2sin^2x.cosx}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{1}{cos^4x}-\frac{1}{sin^4x}=0\)
\(\Leftrightarrow48-\frac{sin^4x+cos^4x}{\left(sinx.cosx\right)^4}=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(2sinx.cosx\right)^4=sin^4x+cos^4x\)
\(\Leftrightarrow3sin^42x=1-\frac{1}{2}sin^22x\)
\(\Leftrightarrow6sin^42x+sin^22x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sin^22x=-\frac{2}{3}\left(l\right)\\sin^22x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow1-2sin^22x=0\)
\(\Leftrightarrow cos4x=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}\)
9.
\(\Leftrightarrow3\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2}+\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2-3=-m\)
Đặt \(\sqrt{\sqrt{2}sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2}=t\Rightarrow\sqrt{2-\sqrt{2}}\le t\le\sqrt{2+2\sqrt{2}}\)
Pt trở thành:
\(t^2+3t-3=-m\)
Xét \(f\left(t\right)=t^2+3t-3\) trên \(\left[\sqrt{2-\sqrt{2}};\sqrt{2+\sqrt{2}}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}< \sqrt{2-\sqrt{2}}\) nên \(f\left(t\right)\) đồng biến trên đoạn đã cho
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\) ; \(f\left(t\right)_{max}=f\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:
\(-f\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)\le m\le-f\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)\)
\(\Rightarrow m=\left\{-5;-4;-3;-2;-1;0\right\}\)
Tập S có 6 phần tử
