\(C=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\)( 1 )
Biểu thức C là tích của 100 phân số của hơn 1, trong đó các tử đều lẻ, các mẫu đều chẵn. Ta đưa ra biểu thức trung gian là một tích các phân số mà các tử đều chẵn, các mẫu đều lẻ. Thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi phân số của C, giá trị của mỗi phân số tăng thêm, do đó :
\(C< \frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\)( 2 )
Nhân ( 1 ) với ( 2 ) theo từng vế ta được :
\(C^2< \left(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{199}{200}\right).\left(\frac{2}{3}.\frac{4}{5}.\frac{6}{7}...\frac{200}{201}\right)\)
Vế phải của bất đẳng thức trên bằng :
\(\frac{1.\left(3.5...199\right)}{2.4.6...200}.\frac{2.4.6...200}{\left(3.5...199\right).201}=\frac{1}{201}\)
Vậy \(C^2< \frac{1}{201}\)
