Khai triển và phân tích nhân tử \(\left(x+2\right)^2+4\left(y-1\right)^2=4xy+13\)
ta có pt sau đây \(\left(x-2y-1\right)\left(x-2y+5\right)=0\)(***)
Nhận xét: \(x^2-xy-2y^2=\left(x+y\right)\left(x-2y\right)\).
Trường hợp 1: \(x-2y=1\)
Pt sau trở thành \(\sqrt{\frac{3y+1}{y+1}}+\sqrt{3y+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(y+1\right)\left(3y+1\right)}}\)
Đặt \(a=\sqrt{3y+1},b=\sqrt{y+1}\)
Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}\frac{a}{b}+a=\frac{2}{ab}\\a^2-3b^2=-2\end{cases}}\)
Tới đây chắc bạn giải được rồi đó.
Hừm. Mình nghĩ mình nên giải thích cho bạn cách phân tích (***).
Lúc khai triển pt đầu ra ta có: \(x^2+2\left(2-2y\right)x+4y^2-8y-5=0\).
Coi như đây là pt ẩn \(x\), ta tính \(\Delta'=\left(2-2y\right)^2-\left(4y^2-y-5\right)=9\).
Pt có 2 nghiệm: \(x_1=2y-2+3=2y+1\), \(x_2=2y-2-3=2y-5\).
Theo hệ quả định lí Bezout ("Nếu đa thức có nghiệm \(x=a\) thì khi phân tích thành nhân tử sẽ có nhân tử \(x-a\)), ta có các phân tích \(\left(x-2y-1\right)\left(x-2y+5\right)\).
Đây chỉ là phần làm nháp, bạn không cần trình bày vào bài.
