a)
<=>(x-y)+(x-y)/xy≥0
(x-y)(1-1/xy)≥0
x,y≥1=> 1/(xy)≤1=(1-1/(xy)≥0
x≥y=>x-y≥0
=> (x-y)(1-1/xy)≥0 => dccm
dang thuc khi x=y
or x.y=1
Đúng 0
Bình luận (0)
Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
a)Cho 0 < c ; c < b ; b < a . CMR:\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{b\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
b)Cho \(x\ge1;y\ge1\). CMR:\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
a, Cho x , y ge1 . CMR : dfrac{1}{1+x^2} + dfrac{1}{1+y^2}gedfrac{2}{1+xy}
b, Cho x ge1 , yge0 và 6xy +2x - 3y le 2 . Tìm GTNN
A dfrac{1}{4x^2-4x+2}+ dfrac{1}{9y^2+6y+2}
Đọc tiếp
a, Cho x , y \(\ge\)1 . CMR : \(\dfrac{1}{1+x^2}\) + \(\dfrac{1}{1+y^2}\)\(\ge\)\(\dfrac{2}{1+xy}\)
b, Cho x \(\ge\)1 , y\(\ge\)0 và 6xy +2x - 3y \(\le\) 2 . Tìm GTNN
A = \(\dfrac{1}{4x^2-4x+2}\)+ \(\dfrac{1}{9y^2+6y+2}\)
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(1\le a\le b\le c\le2\)
a. Chứng minh rằng \(\dfrac{a}{b}\ge\dfrac{1}{2}\)
b. Tìm GTLN của \(A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\)
c. Tìm GTLN của \(B=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\)
cho \(\dfrac{1}{2}\le a,b,c\le2\). chứng minh: \(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\ge\dfrac{22}{15}\)
Bài 1:Cho các số dương x, y , z thỏa mãn : x^2+y^2+z^2≥1. CMR: dfrac{x^3}{y}+dfrac{y^3}{z}+dfrac{z^3}{x}≥1
Bài 2: Cho xyz1 va5 x+y+z 3 . Tìm min của B x^{16}+y^{16}+z^{16}
Bài 3: a,Cho ba số dương a , b ,c sao cho a+b+c 3 . cm
dfrac{a}{b^3+ab}+dfrac{b}{c^3+bc}+dfrac{c}{a^3+bc} ≥ dfrac{3}{2}
b, Cho ba số thực a, b , c không âm sao cho a+b+c1
cm: b+c ≥ 16abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p dfrac{a+b+c}{2}. Chứng minh rằng nế...
Đọc tiếp
Bài 1:Cho các số dương x, y , z thỏa mãn : x\(^2\)+y\(^2\)+z\(^2\)≥1. CMR: \(\dfrac{x^3}{y}\)+\(\dfrac{y^3}{z}\)+\(\dfrac{z^3}{x}\)≥1
Bài 2: Cho xyz=1 va5 x+y+z = 3 . Tìm min của B= x\(^{16}\)+\(y^{16}\)+\(z^{16}\)
Bài 3: a,Cho ba số dương a , b ,c sao cho a+b+c =3 . cm
\(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{c^3+bc}+\dfrac{c}{a^3+bc}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)
b, Cho ba số thực a, b , c không âm sao cho a+b+c=1
cm: b+c ≥ 16abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\). Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\) thì tam giác đó là tam giác đều
Bài 1: Với mọi số x, y. Chứng minh rằng:
a) (x+y)^2-xy+1ge(x+y)sqrt{3}
b) x^2+5y^2-4xy+2x-6y+30
Bài 2: Với mọi số thực x, a. Chứng minh rằng:
x^4+2x^3+(2a+1)x^2+2ax+a^2+10
Bài 3: Cho a, b, c, d in R và b c d. Chứng minh rằng:
a) (a+b+c+d)^28(ac+bc)
b) (a^2-b^2)(c^2-d^2)le(ac-bd)^2
Bài 4: Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: p^2+q^2-a^2-b^2-c^2-d^20. CMR:
(p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2)le(pq-ac-bd)^2
Bài 5: (a_1b_1+a_2b_2)^2le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) dấu bằng xảy ra khi nào?...
Đọc tiếp
Bài 1: Với mọi số x, y. Chứng minh rằng:
a) \((x+y)^2-xy+1\ge(x+y)\sqrt{3}
\)
b) \(x^2+5y^2-4xy+2x-6y+3>0\)
Bài 2: Với mọi số thực x, a. Chứng minh rằng:
\(x^4+2x^3+(2a+1)x^2+2ax+a^2+1>0\)
Bài 3: Cho \(a, b, c, d \in R\) và \(b< c < d\). Chứng minh rằng:
a) \((a+b+c+d)^2>8(ac+bc)\)
b) \((a^2-b^2)(c^2-d^2)\le(ac-bd)^2\)
Bài 4: Cho các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn điều kiện: \(p^2+q^2-a^2-b^2-c^2-d^2>0\). CMR:
\((p^2-a^2-b^2)(q^2-c^2-d^2)\le(pq-ac-bd)^2\)
Bài 5: \((a_1b_1+a_2b_2)^2\le(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\) dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 6: Cho a>0. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a+\sqrt{a+....+\sqrt{a}}}<\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\)
Bài 7: \(y=\dfrac{x+1}{x^2+x+1}\). Tìm cực trị của y.
Bài 8: Cho \(0\le x, \) \(y\le1 \)và \(x+y=3xy\). CMR: \(\dfrac{3}{9}\le \dfrac{1}{4(x+y)}\le \dfrac{3}{8}\)
Bài 9: Cho \(0\le x, \)\(y\le1 \). CMR: \((2^x+2^y)(2^{-x}+2^{-y})\ge \dfrac{9}{2}\)
Bài 10: Ba số thực a, b, c thỏa: \(a^2+b^2+c^2=2\), \(ab+bc+ca=1\) CMR: \(a,b,c \in [\dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}]\)
a, Cho a,b là số thực dương và ab<1. Chứng minh \(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}\le\dfrac{2}{1+\sqrt{ab}}\)
b, Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn abc=1. Chứng minh \(\dfrac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\dfrac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\dfrac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\dfrac{3}{4}\)
Cho x, y, z 0 thoả mãn x+y+z1. Chứng minh rằng:
a) sqrt{x^2+dfrac{1}{x^2}}+sqrt{y^2+dfrac{1}{y^2}}+sqrt{z^2+dfrac{1}{z^2}}gesqrt{82}
b) sqrt{x^2+dfrac{1}{x^2}+dfrac{1}{y^2}}+sqrt{y^2+dfrac{1}{y^2}+dfrac{1}{z^2}}+sqrt{z^2+dfrac{1}{z^2}+dfrac{1}{x^2}}gesqrt{163}
c)sqrt{x^2+dfrac{2}{y^2}+dfrac{3}{z^2}}+sqrt{y^2+dfrac{2}{z^2}+dfrac{3}{x^2}}+sqrt{z^2+dfrac{2}{z^2}+dfrac{3}{y^2}}gesqrt{406}
Đọc tiếp
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x+y+z=1. Chứng minh rằng:
a) \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
b) \(\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{x^2}}\ge\sqrt{163}\)
c)\(\sqrt{x^2+\dfrac{2}{y^2}+\dfrac{3}{z^2}}+\sqrt{y^2+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{3}{x^2}}+\sqrt{z^2+\dfrac{2}{z^2}+\dfrac{3}{y^2}}\ge\sqrt{406}\)
Cho a+b+c\(\le\)1 và a,b,c>0. Cmr: S = \(\dfrac{a^2}{b}\)+\(\dfrac{b^2}{c}\)+\(\dfrac{c^2}{a}\)+\(\dfrac{1}{a}\)+\(\dfrac{1}{b}\)+\(\dfrac{1}{c}\)\(\ge\)28