Giair các bài toán sau
a) cHO PHÂN SỐ \(\frac{1}{n}và\frac{1}{n+1}\left(nthuộcZ,n>0\right)\)chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng hiệu của chúng
b)Aps dụng kết quả trên để tính giá trị của các biểu thức sau:
\(A=\frac{1}{2}.\frac{1}{3}+\frac{1}{3}.\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.\frac{1}{6}+\frac{1}{6}.\frac{1}{7}+\frac{1}{7}.\frac{1}{8}+\frac{1}{8}.\frac{1}{9}.\)
\(B=\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110.}\)
a) \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n.\left(n+1\right)}=\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)
\(\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\)
vậy \(\frac{1}{n}và\frac{1}{n+1}\)có hiệu và tích bằng nhau
\(A=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}\)
do có các cặp âm và dương nên gạch vậy A=\(\frac{1}{2}-\frac{1}{9}\)=\(\frac{7}{18}\)
B=\(\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\frac{1}{56}+\frac{1}{72}+\frac{1}{90}+\frac{1}{110}=\frac{1}{4.5}+\frac{1}{5.6}+\frac{1}{6.7}+...+\frac{1}{10.11}\)
cách lm tương tự câu A
vậy B= \(\frac{1}{4}-\frac{1}{11}\)=\(\frac{7}{44}\)
a) Ta có : \(\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}.\frac{n}{n\left(n+1\right)}\frac{\left(n+1\right)n}{n\left(n+1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n+1}\)(1)
Lại có : \(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}=\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{1}{n}.\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
